En la geometría computacional , una forma alfa , o α-forma , es una familia de curvas lineal a trozos simples en el plano euclidiano asociado con la forma de un conjunto finito de puntos. Fueron definidos por primera vez por Edelsbrunner, Kirkpatrick y Seidel (1983) . La forma alfa asociada con un conjunto de puntos es una generalización del concepto de casco convexo , es decir, cada casco convexo tiene una forma alfa, pero no todas las formas alfa son un casco convexo.
Caracterización
Para cada número real α , defina el concepto de un disco generalizado de radio 1 / α de la siguiente manera:
- Si α = 0, es un semiplano cerrado ;
- Si α > 0, es un disco cerrado de radio 1 / α ;
- Si α <0, es el cierre del complemento de un disco de radio -1 / α .
Luego, se dibuja un borde de la forma alfa entre dos miembros del conjunto de puntos finitos siempre que exista un disco generalizado de radio 1 / α que no contenga ninguno del conjunto de puntos y que tenga la propiedad de que los dos puntos se encuentran en su límite.
Si α = 0, entonces la forma alfa asociada con el conjunto de puntos finitos es su casco convexo ordinario.
Complejo alfa
Las formas alfa están estrechamente relacionadas con los complejos alfa, subcomplejos de la triangulación de Delaunay del conjunto de puntos.
Cada borde o triángulo de la triangulación de Delaunay puede estar asociado con un radio característico, el radio del círculo vacío más pequeño que contiene el borde o triángulo. Para cada número real α , el complejo α del conjunto de puntos dado es el complejo simplicial formado por el conjunto de aristas y triángulos cuyos radios son como máximo 1 / α .
La unión de los bordes y triángulos en el complejo α forma una forma que se asemeja mucho a la forma α ; sin embargo, se diferencia en que tiene bordes poligonales en lugar de bordes formados por arcos de círculos. Más específicamente, Edelsbrunner (1995) mostró que las dos formas son equivalentes de homotopía . (En este trabajo posterior, Edelsbrunner usó el nombre " α- forma" para referirse a la unión de las células en el complejo α , y en su lugar llamó a la forma curvilínea relacionada un cuerpo α ).
Ejemplos de
Esta técnica puede emplearse para reconstruir una superficie de Fermi a partir de la función espectral electrónica de Bloch evaluada al nivel de Fermi , obtenida de la función de Green en un estudio ab-initio generalizado del problema. La superficie de Fermi se define entonces como el conjunto de puntos recíprocos del espacio dentro de la primera zona de Brillouin , donde la señal es más alta. La definición tiene la ventaja de cubrir también casos de diversas formas de desorden.
Ver también
Referencias
- N. Akkiraju, H. Edelsbrunner, M. Facello, P. Fu, EP Mucke y C. Varela. " Formas alfa: definición y software ". En Proc. Internat. Computación. Geom. Taller de software 1995 , Minneapolis.
- Edelsbrunner, Herbert (1995), "Superficies lisas para la representación de formas en múltiples escalas", Fundamentos de la tecnología del software y la informática teórica (Bangalore, 1995) , Lecture Notes in Comput. Sci., 1026 , Berlín: Springer, págs. 391–412, MR 1458090.
- Edelsbrunner, Herbert ; Kirkpatrick, David G. ; Seidel, Raimund (1983), "On the shape of a set of points in the plane", IEEE Transactions on Information Theory , 29 (4): 551–559, doi : 10.1109 / TIT.1983.1056714.
enlaces externos
- Formas alfa 2D y formas alfa 3D en CGAL, la biblioteca de algoritmos de geometría computacional
- Alpha Complex en la biblioteca GUDHI.
- Descripción e implementación por la Universidad de Duke
- Todo lo que siempre quiso saber sobre las formas alfa, pero tenía miedo de preguntar , con ilustraciones y demostración interactiva
- Implementación de la forma alfa 3D para la reconstrucción de conjuntos 3D a partir de una nube de puntos en R
- Descripción de los detalles de implementación de las formas alfa : lección que proporciona una descripción de los aspectos formales e intuitivos de la implementación de formas alfa.
- Cascos alfa, formas y cosas ponderadas : diapositivas de conferencias de Robert Pless en la Universidad de Washington