la solución del problema de valor inicial Ly = f es la convolución ( G * f ), donde G es la función de Green.
A través del principio de superposición , dada una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO), L (solución) = fuente, primero se puede resolver L (verde) = δ s , para cada s , y darse cuenta de que, dado que la fuente es una suma de delta funciones , la solución es una suma de funciones de Green, así, por linealidad de L .
donde δ es la función delta de Dirac . Esta propiedad de la función de Green se puede aprovechar para resolver ecuaciones diferenciales de la forma
( 2 )
Si el núcleo de L no es trivial, entonces la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, alguna combinación de simetría , condiciones de contorno y / u otros criterios impuestos externamente darán una función de Green única. Las funciones de Green pueden clasificarse, por el tipo de condiciones de contorno satisfechas, por un número de función de Green . Además, las funciones de Green en general son distribuciones , no necesariamente funciones de una variable real.
En términos generales, si tal función G se puede encontrar para el operador, entonces, si multiplicamos la ecuación (1) para la función de Green por f ( s ) , y luego integramos con respecto a s , obtenemos,
Porque el operador es lineal y actúa solo sobre la variable x (y no sobre la variable de integración s ), se puede tomar el operador fuera de la integración, cediendo
Esto significa que
(3)
es una solución a la ecuación
Por lo tanto, se puede obtener la función u ( x ) mediante el conocimiento de la función de Green en la ecuación (1) y el término fuente en el lado derecho en la ecuación (2). Este proceso se basa en la linealidad del operador..
En otras palabras, la solución de la ecuación (2), u ( x ) , se puede determinar mediante la integración dada en la ecuación (3). Aunque se conoce f ( x ) , esta integración no se puede realizar a menos que también se conozca G. El problema ahora radica en encontrar la función G de Green que satisfaga la ecuación (1). Por esta razón, la función de Green también se denomina a veces la solución fundamental asociada al operador..
No todos los operadores admite una función de Green. La función de Green también se puede considerar como un inverso a la derecha de. Aparte de las dificultades de encontrar la función de Green para un operador en particular, la integral en la ecuación (3) puede ser bastante difícil de evaluar. Sin embargo, el método da un resultado teóricamente exacto.
Esto puede pensarse como una expansión de f de acuerdo con la base de una función delta de Dirac (proyectando f sobre; y una superposición de la solución en cada proyección . Esta ecuación integral se conoce como ecuación integral de Fredholm , cuyo estudio constituye la teoría de Fredholm .
Funciones de Green para resolver problemas de valores de frontera no homogéneos
El uso principal de las funciones de Green en matemáticas es resolver problemas de valores de frontera no homogéneos . En la física teórica moderna , las funciones de Green también se utilizan normalmente como propagadores en los diagramas de Feynman ; el término función de Green se usa a menudo para cualquier función de correlación .
Marco de referencia
Dejar ser el operador de Sturm-Liouville , un operador diferencial lineal de la forma
y deja ser el operador de condiciones de contorno con valores vectoriales
Dejar ser una función continua en Suponga además que el problema
es "regular", es decir, la única solución para para todo x es. [a]
Teorema
Hay una y solo una solución que satisface
y está dado por
dónde es una función de Green que cumple las siguientes condiciones:
es continuo en y .
Para , .
Para , .
"Salto" derivado :.
Simetría: .
Funciones de Green avanzadas y retardadas
A veces, la función de Green se puede dividir en una suma de dos funciones. Uno con la variable positiva (+) y el otro con la variable negativa (-). Estas son las funciones de Green avanzadas y retardadas, y cuando la ecuación en estudio depende del tiempo, una de las partes es causal y la otra anticausal. En estos problemas, por lo general, la parte causal es la importante. Estas son con frecuencia las soluciones a la ecuación de ondas electromagnéticas no homogénea .
Encontrar las funciones de Green
Unidades
Si bien no fija de manera única la forma que tomará la función de Green, realizar un análisis dimensional para encontrar las unidades que debe tener la función de Green es una importante verificación de cordura en cualquier función de Green encontrada por otros medios. Un examen rápido de la ecuación definitoria,
muestra que las unidades Dependen no solo de las unidades de sino también en el número y las unidades del espacio del cual los vectores de posición y son elementos. Esto conduce a la relación:
dónde se define como "las unidades físicas de ", y es el elemento de volumen del espacio (o espacio-tiempo ).
Por ejemplo, si y el tiempo es la única variable entonces:
Si , el operador d'Alembert , y el espacio tiene 3 dimensiones, entonces:
Expansiones de valores propios
Si un operador diferencial L admite un conjunto de vectores propios Ψ n ( x ) (es decir, un conjunto de funciones Ψ n y escalares λ n tales que L Ψ n = λ n Ψ n ) que está completo, entonces es posible construir un Función de Green a partir de estos autovectores y autovalores .
"Completo" significa que el conjunto de funciones { Ψ n } satisface la siguiente relación de completitud ,
Entonces lo siguiente es válido,
dónde representa conjugación compleja.
La aplicación del operador L a cada lado de esta ecuación da como resultado la relación de completitud, que se asumió.
El estudio general de la función de Green escrito en la forma anterior, y su relación con los espacios funcionales formados por los vectores propios, se conoce como teoría de Fredholm .
Hay varios otros métodos para encontrar las funciones de Green, incluido el método de imágenes , la separación de variables y las transformadas de Laplace (Cole 2011).
Combinando las funciones de Green
Si el operador diferencial se puede factorizar como entonces la función de Green de puede construirse a partir de las funciones de Green para y :
La identidad anterior se deriva inmediatamente de tomar para ser la representación del operador derecho inverso de , análogo a cómo para el operador lineal invertible , definido por , está representado por sus elementos de matriz .
Sigue una identidad adicional para los operadores diferenciales que son polinomios escalares de la derivada, . El teorema fundamental del álgebra , combinado con el hecho de que conmuta consigo mismo , garantiza que el polinomio se puede factorizar, poniendo en la forma:
dónde son los ceros de . Tomando la transformada de Fourier de con respecto a ambos y da:
La fracción se puede dividir en una suma usando una descomposición de fracción parcial antes de que Fourier se transforme de nuevo en y espacio. Este proceso produce identidades que relacionan integrales de las funciones de Green y sumas de las mismas. Por ejemplo, si entonces una forma para su función de Green es:
Si bien el ejemplo presentado es manejable analíticamente, ilustra un proceso que funciona cuando la integral no es trivial (por ejemplo, cuando es el operador en el polinomio).
Tabla de funciones de Green
La siguiente tabla ofrece una descripción general de las funciones de Green de los operadores diferenciales que aparecen con frecuencia, donde , , es la función escalón Heaviside ,es una función de Bessel ,es una función de Bessel modificada del primer tipo , yes una función de Bessel modificada del segundo tipo . [1] Cuando aparece el tiempo ( t ) en la primera columna, se enumera la función avanzada (causal) de Green.
Operador diferencial L
Función de Green G
Ejemplo de aplicacion
dónde
con
Oscilador armónico subamortiguado 1D
dónde
con
Oscilador armónico sobreamortiguado 1D
dónde
Oscilador armónico 1D críticamente amortiguado
Operador de Laplace 2D
con
Ecuación de Poisson 2D
Operador de Laplace 3D
con
Ecuación de poisson
Operador de Helmholtz
H 1 / 2 ( 2 ) ( k r ) {\ Displaystyle H_ {1/2} ^ {(2)} (kr)} h 0 ( 2 ) ( k r ) {\ Displaystyle h_ {0} ^ {(2)} (kr)}
Ecuación 3D estacionaria de Schrödinger para partículas libres
en dimensiones
Potencial de Yukawa , propagador de Feynman
Ecuación de onda 1D
Ecuación de onda 2D
Operador D'Alembert
Ecuación de onda 3D
Difusión 1D
Difusión 2D
Difusión 3D
con
Ecuación 1D de Klein-Gordon
con
Ecuación 2D de Klein-Gordon
con
Ecuación 3D de Klein-Gordon
con
ecuación del telegrafista
con
Conducción de calor relativista 2D
con
Conducción de calor relativista 3D
Funciones de Green para el laplaciano
Las funciones de Green para operadores diferenciales lineales que involucran al laplaciano pueden usarse fácilmente usando la segunda de las identidades de Green .
Para derivar el teorema de Green, comience con el teorema de divergencia (también conocido como teorema de Gauss ),
Dejar y sustituir en la ley de Gauss.
Calcular y aplicar la regla del producto para el operador ∇,
Conectando esto al teorema de divergencia produce el teorema de Green ,
Suponga que el operador diferencial lineal L es el laplaciano , ∇², y que existe una función de Green G para el laplaciano. La propiedad definitoria de la función de Green todavía se mantiene,
Dejar en la segunda identidad de Green , consulte las identidades de Green . Luego,
Usando esta expresión, es posible resolver la ecuación de Laplace ∇ 2 φ ( x ) = 0 o la ecuación de Poisson ∇ 2 φ ( x ) = - ρ ( x ), sujeto a las condiciones de frontera de Neumann o Dirichlet . En otras palabras, podemos resolver para φ ( x ) en todas partes dentro de un volumen donde (1) el valor de φ ( x ) se especifica en la superficie límite del volumen (condiciones de frontera de Dirichlet), o (2) la derivada normal de φ ( x ) se especifica en la superficie delimitante (condiciones de contorno de Neumann).
Suponga que el problema consiste en resolver φ ( x ) dentro de la región. Entonces la integral
se reduce a simplemente φ ( x ) debido a la propiedad definitoria de la función delta de Dirac y tenemos
Esta forma expresa la propiedad bien conocida de las funciones armónicas , que si el valor o la derivada normal se conoce en una superficie límite, entonces el valor de la función dentro del volumen se conoce en todas partes .
En electrostática , φ ( x ) se interpreta como potencial eléctrico , ρ ( x ) como densidad de carga eléctrica y la derivada normal como componente normal del campo eléctrico.
Si el problema es resolver un problema de valor límite de Dirichlet, la función de Green debe elegirse de manera que G ( x , x ′) desaparezca cuando x o x ′ está en la superficie límite. Por tanto, sólo queda uno de los dos términos de la integral de superficie . Si el problema es resolver un problema de valor de frontera de Neumann, la función de Green se elige de manera que su derivada normal se desvanezca en la superficie delimitante, ya que parecería ser la opción más lógica. (Ver Electrodinámica clásica de Jackson JD, página 39). Sin embargo, la aplicación del teorema de Gauss a la ecuación diferencial que define la función de Green produce
lo que significa que la derivada normal de G ( x , x ′) no puede desaparecer en la superficie, porque debe integrarse a 1 en la superficie. (Nuevamente, vea Electrodinámica clásica de Jackson JD, página 39 para este y el siguiente argumento).
La forma más simple que puede tomar la derivada normal es la de una constante, a saber, 1 / S , donde S es el área de la superficie. El término superficial en la solución se convierte en
dónde es el valor medio del potencial en la superficie. Este número no se conoce en general, pero a menudo no es importante, ya que el objetivo suele ser obtener el campo eléctrico dado por el gradiente del potencial, en lugar del potencial en sí.
Sin condiciones de contorno, la función de Green para el Laplaciano ( función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables ) es
Suponiendo que la superficie limítrofe llega al infinito y conectando esta expresión para la función de Green finalmente se obtiene la expresión estándar para el potencial eléctrico en términos de densidad de carga eléctrica como
Ejemplo
Ejemplo. Encuentre la función de Green para el siguiente problema, cuyo número de función de Green es X11:
Primer paso: la función de Green para el operador lineal en cuestión se define como la solución a
Si , entonces la función delta da cero, y la solución general es
Para , la condición de frontera en implica
Si y .
Para , la condición de frontera en implica
La ecuación de se omite por motivos similares.
Para resumir los resultados hasta ahora:
Segundo paso: la siguiente tarea es determinar y .
Asegurar la continuidad en la función de Green en implica
Se puede asegurar la discontinuidad adecuada en la primera derivada integrando la ecuación diferencial definitoria (es decir, Ec. *) De a y tomando el limite como va a cero. Tenga en cuenta que solo integramos la segunda derivada ya que el término restante será continuo por construcción.
Las dos ecuaciones de (dis) continuidad se pueden resolver para y para obtener
Entonces, la función de Green para este problema es:
Más ejemplos
Sea n = 1 y sea el subconjunto todo de ℝ. Deja que L sea. Entonces, la función escalón de Heaviside H ( x - x 0 ) es una función de Green de L en x 0 .
Sea n = 2 y sea el subconjunto el cuarto de plano {( x , y ): x , y ≥ 0} y L el laplaciano . Además, suponga que se impone una condición de límite de Dirichlet en x = 0 y que se impone una condición de límite de Neumann en y = 0 . Entonces la función del X10Y20 Green es
Dejar , y los tres son elementos de los números reales. Luego, para cualquier función, desde reales a reales,, con un la derivada que es integrable en el intervalo:
La función de Green en la ecuación anterior, , no es único. ¿Cómo se modifica la ecuación si se agrega a , dónde satisface para todos (por ejemplo, con )? Además, compare la ecuación anterior con la forma de una serie de Taylor centrada en .
Ver también
Potencial de Bessel
Funciones de Green discretas : definidas en gráficos y cuadrículas
Respuesta de impulso : el análogo de la función de Green en el procesamiento de señales
Función de transferencia
Solución fundamental
La función de Green en la teoría de muchos cuerpos
Función de correlación
Propagador
Identidades de Green
Parametrix
Ecuación integral de Volterra
Formalismo resolutivo
Formalismo Keldysh
Teoría espectral
Notas al pie
^ En la jerga técnica, "regular" significa que solo lasolución trivial () existe para el problema homogéneo ().
Referencias
^ algunos ejemplos tomados de Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (alemán)
Bayin, SS (2006). Métodos matemáticos en ciencia e ingeniería . Wiley. Capítulos 18 y 19.
Eyges, Leonard (1972). El campo electromagnético clásico . Nueva York, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-63947-9. El capítulo 5 contiene una descripción muy legible del uso de las funciones de Green para resolver problemas de valores límite en electrostática.
Polianina, AD; Zaitsev, VF (2003). Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2ª ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
Polyanin, AD (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de la física (2ª ed.). Nueva York: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
Folland, GB Fourier Analysis y sus aplicaciones . Serie de Matemáticas. Wadsworth y Brooks / Cole.
Cole, KD; Beck, JV; Haji-Sheikh, A .; Litkouhi, B. (2011). "Métodos para obtener las funciones de Green". Conducción de calor usando las funciones de Green . Taylor y Francis. págs. 101-148. ISBN 978-1-4398-1354-6.
Verde, G (1828). Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo . Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse. páginas 10-12 .
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Weisstein, Eric W. "Función de Green" . MathWorld .
Función de Green para el operador diferencial en PlanetMath .
Función de Green en PlanetMath .
Funciones verdes y mapeo conforme en PlanetMath .
Introducción a la técnica de función verde sin equilibrio de Keldysh por AP Jauho
Biblioteca de funciones de Green
Tutorial sobre las funciones de Green
Método del elemento de límite (para tener una idea de cómo se pueden usar las funciones de Green con el método de elemento de límite para resolver problemas potenciales numéricamente)
En Citizendium
Videoconferencia del MIT sobre la función de Green
Bowley, Roger. "Funciones de George Green & Green" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .