En topología , una rama de las matemáticas , dos funciones continuas de un espacio topológico a otro se denominan homotópicas (del griego ὁμός homós "igual, similar" y τόπος tópos "lugar") si una se puede "deformar continuamente" en la otra, tal una deformación se denomina homotopía entre las dos funciones. Un uso notable de la homotopía es la definición de grupos de homotopía y grupos de cohomotopía , importantes invariantes en la topología algebraica . [1]
En la práctica, existen dificultades técnicas para utilizar homotopías con determinados espacios. Los topólogos algebraicos trabajan con espacios generados de forma compacta , complejos CW o espectros .
Definicion formal
Formalmente, una homotopía entre dos funciones continuas f y g desde un espacio topológico X a un espacio topológico Y se define como una función continua.del producto del espacio X con el intervalo unitario [0, 1] a Y tal que y para todos .
Si pensamos en el segundo parámetro de H como tiempo, entonces H describe una deformación continua de f en g : en el tiempo 0 tenemos la función f y en el tiempo 1 tenemos la función g . También podemos pensar en el segundo parámetro como un "control deslizante" que nos permite sin problemas la transición de f a g como la corredera se mueve de 0 a 1, y viceversa.
Una notación alternativa es decir que una homotopía entre dos funciones continuas es una familia de funciones continuas por tal que y y el mapa es continuo desde a . Las dos versiones coinciden estableciendo. No es suficiente exigir cada mapaa ser continuo. [2]
La animación que está en bucle arriba a la derecha proporciona un ejemplo de una homotopía entre dos incrustaciones , f y g , del toro en R 3 . X es el toro, Y es R 3 , f es alguna función continua desde el toro hasta R 3 que lleva al toro a la superficie incrustada de forma de rosquilla con la que comienza la animación; g es una función continua que lleva el toro a la superficie incrustada en forma de taza de café. La animación muestra la imagen de h t ( x ) en función del parámetro t , donde t varía con el tiempo de 0 a 1 en cada ciclo del bucle de animación. Hace una pausa, luego muestra la imagen a medida que t varía de 1 a 0, hace una pausa y repite este ciclo.
Propiedades
Se dice que las funciones continuas f y g son homotópicas si y solo si hay una homotopía H que toma f por g como se describió anteriormente. Ser homotopic es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las funciones continuas de X a Y . Esta relación de homotopía es compatible con la composición de funciones en el siguiente sentido: si f 1 , g 1 : X → Y son homotópicas y f 2 , g 2 : Y → Z son homotópicas, entonces sus composiciones f 2 ∘ f 1 y g 2 ∘ g 1 : X → Z también son homotópicos.
Ejemplos de
- Si son dadas por y , luego el mapa dada por es una homotopía entre ellos.
- De manera más general, si es un subconjunto convexo del espacio euclidiano yson caminos con los mismos puntos finales, entonces hay una homotopía lineal [3] (u homotopía en línea recta ) dada por
- Dejar ser la función de identidad en la unidad n - disco , es decir, el conjunto. Dejarser la función constante que envía cada punto al origen . Entonces lo siguiente es una homotopía entre ellos:
Equivalencia de homotopía
Dados dos espacios topológicos X y Y , una equivalencia homotopy entre X e Y es un par de continuas mapas f : X → Y y g : Y → X , tal que g ∘ f es decir homotopic al mapa de identidad ID X y f ∘ g es homotopic a Identificación Y . Si tal par existe, entonces se dice que X e Y son homotopía equivalente , o del mismo tipo de homotopía . Intuitivamente, dos espacios X e Y son homotopía equivalentes si pueden transformarse entre sí mediante operaciones de flexión, contracción y expansión. Los espacios que son homotopía-equivalentes a un punto se denominan contractibles .
Equivalencia de homotopía frente a homeomorfismo
Un homeomorfismo es un caso especial de una equivalencia homotopy, en la que g ∘ f es igual a la identidad mapa Identificación del X (no sólo homotopic a ella), y f ∘ g es igual a Identificación Y . [4] : 0:53:00 Por lo tanto, si X e Y son homeomorfos, entonces son equivalentes a homotopía, pero lo contrario no es cierto. Algunos ejemplos:
- Un disco sólido es homotopía equivalente a un solo punto, ya que puede deformar el disco a lo largo de líneas radiales continuamente en un solo punto. Sin embargo, no son homeomorfos, ya que no hay biyección entre ellos (una forma de demostrar esto es que el disco y el punto tienen una dimensión diferente, y la dimensión es invariante bajo el homeomorfismo).
- La tira de Möbius y una tira sin torcer (cerrada) son equivalentes de homotopía, ya que puede deformar ambas tiras continuamente en un círculo. Pero no son homeomorfos.
Ejemplos de
- El primer ejemplo de una equivalencia de homotopía es con un punto, denotado . La parte que debe comprobarse es la existencia de una homotopía. Entre y , la proyección de sobre el origen. Esto se puede describir como.
- Existe una equivalencia de homotopía entre y .
- Más generalmente, .
- Cualquier haz de fibras con fibras homotopía equivalente a un punto tiene homotopía equivalente total y espacios de base. Esto generaliza los dos ejemplos anteriores ya quees un haz de fibras con fibra .
- Cada haz de vectores es un haz de fibras con una homotopía de fibras equivalente a un punto.
- Para cualquier , escribiendo como y aplicando las equivalencias de homotopía anteriores.
- Si un subcomplejo de un complejo CW es contráctil, entonces el espacio del cociente es homotopía equivalente a . [5]
- Una retracción por deformación es una equivalencia de homotopía.
Homotopía nula
Se dice que una función f es homotópica nula si es homotópico a una función constante. (La homotopía de f a una función constante a veces se denomina homotopía nula ). Por ejemplo, un mapa f desde el círculo unitario S 1 a cualquier espacio X es homotópico nulo precisamente cuando puede extenderse continuamente a un mapa desde el disco unitario D 2 a X que coincide con f en el límite.
De estas definiciones se deduce que un espacio X es contractible si y sólo si el mapa de identidad de X a sí mismo, que siempre es una equivalencia de homotopía, es homotópico nulo.
Invariancia
La equivalencia de homotopía es importante porque en la topología algebraica muchos conceptos son invariantes de homotopía , es decir, respetan la relación de equivalencia de homotopía. Por ejemplo, si X e Y son espacios equivalentes de homotopía, entonces:
- X está conectado a la ruta si y solo si Y lo está.
- X está simplemente conectado si y solo si Y lo está.
- Los grupos (singulares) de homología y cohomología de X e Y son isomorfos .
- Si X e Y están conectados por caminos, entonces los grupos fundamentales de X e Y son isomorfos, y también lo son los grupos de homotopía superior . (Sin el supuesto de conectividad de ruta, uno tiene π 1 ( X , x 0 ) isomorfo a π 1 ( Y , f ( x 0 )) donde f : X → Y es una equivalencia de homotopía y x 0 ∈ X. )
Un ejemplo de un invariante algebraico de espacios topológicos que no es invariante de homotopía es la homología con soporte compacto (que es, en términos generales, la homología de la compactación , y la compactación no es invariante de homotopía).
Variantes
Homotopía relativa
Para definir el grupo fundamental , se necesita la noción de homotopía relativa a un subespacio . Son homotopías que mantienen fijos los elementos del subespacio. Formalmente: si f y g son mapas continuos de X a Y y K es un subconjunto de X , entonces decimos que f y g son homotópicos en relación con K si existe una homotopía H : X × [0, 1] → Y entre f y g tales que H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) para todo k ∈ K y t ∈ [0, 1]. Además, si g es una retracción de X a K y f es el mapa de identidad, esto se conoce como un fuerte retracto de deformación de X a K . Cuando K es un punto, se utiliza el término homotopía puntiaguda .
Isotopía
En el caso de las dos funciones continuas dadas f y g de la espacio topológico X al espacio topológico Y son incrustaciones , uno puede preguntarse si pueden ser conectados 'a través de incrustaciones'. Esto da lugar al concepto de isotopía , que es una homotopía, H , en la notación utilizada anteriormente, de modo que para cada t fija , H ( x , t ) da una incrustación. [6]
Un concepto relacionado, pero diferente, es el de isotopía ambiental .
Requerir que dos incrustaciones sean isotópicas es un requisito más fuerte que que sean homotópicas. Por ejemplo, el mapa del intervalo [−1, 1] en los números reales definidos por f ( x ) = - x no es isotópico a la identidad g ( x ) = x . Cualquier homotopía de f a la identidad tendría que intercambiar los puntos finales, lo que significaría que tendrían que "atravesarse" entre sí. Además, f ha cambiado la orientación del intervalo y g no, lo que es imposible bajo una isotopía. Sin embargo, los mapas son homotópicos; una homotopía de f a la identidad es H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] dada por H ( x , y ) = 2 yx - x .
Se puede demostrar que dos homeomorfismos (que son casos especiales de incrustaciones) de la bola unitaria que coinciden en el límite son isotópicos utilizando el truco de Alexander . Por esta razón, el mapa del disco unidad en R 2 definida por f ( x , y ) = (- x , - y ) es isotópico a una de 180 grados de rotación alrededor del origen, y así el mapa identidad y f son isotópica porque pueden estar conectados por rotaciones.
En topología geométrica, por ejemplo en teoría de nudos, la idea de isotopía se utiliza para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, ¿cuándo deben considerarse dos nudos iguales? Tomamos dos nudos, K 1 y K 2 , en un espacio tridimensional . Un nudo es una incrustación de un espacio unidimensional, el "bucle de cuerda" (o el círculo), en este espacio, y esta incrustación da un homeomorfismo entre el círculo y su imagen en el espacio de incrustación. La idea intuitiva detrás de la noción de equivalencia de nudos es que uno puede deformar una incrustación a otra a través de un camino de incrustaciones: una función continua que comienza en t = 0 dando la incrustación K 1 , termina en t = 1 dando la incrustación K 2 , con todos los valores intermedios correspondientes a incrustaciones. Esto corresponde a la definición de isotopía. Una isotopía ambiental , estudiada en este contexto, es una isotopía del espacio más grande, considerada a la luz de su acción sobre la subvariedad incrustada. Los nudos K 1 y K 2 se consideran equivalentes cuando hay una isotopía ambiental que mueve K 1 a K 2 . Ésta es la definición apropiada en la categoría topológica.
Se utiliza un lenguaje similar para el concepto equivalente en contextos donde uno tiene una noción más fuerte de equivalencia. Por ejemplo, un camino entre dos incrustaciones suaves es una isotopía suave .
Homotopía temporal
En una variedad de Lorentz , ciertas curvas se distinguen como temporales (que representan algo que solo avanza, no hacia atrás, en el tiempo, en cada marco local). Una homotopía temporal entre dos curvas temporales es una homotopía tal que la curva permanece temporal durante la transformación continua de una curva a otra. Ninguna curva cerrada de tipo temporal (CTC) en una variedad de Lorentz es homotópica temporal para un punto (es decir, homotópica temporal nula); Por lo tanto, se dice que tal variedad está conectada de forma múltiple por curvas temporales. Una variedad como la de 3 esferas se puede conectar simplemente (mediante cualquier tipo de curva) y, sin embargo, tener una conexión múltiple en forma de tiempo . [7]
Propiedades
Propiedades de elevación y extensión
Si tenemos una homotopía H : X × [0,1] → Y y una cubierta p : Y → Y y se nos da un mapa h 0 : X → Y tal que H 0 = p ○ h 0 ( h 0 se llama un ascensor de h 0 ), entonces puede levantar todos h a un mapa h : X × [0, 1] → Y tal que p ○ h = h . La propiedad de elevación de homotopía se utiliza para caracterizar fibraciones .
Otra propiedad útil que involucra la homotopía es la propiedad de extensión de la homotopía , que caracteriza la extensión de una homotopía entre dos funciones de un subconjunto de algún conjunto al conjunto mismo. Es útil cuando se trata de cofibraciones .
Grupos
Dado que la relación de dos funciones siendo homotópico relativo a un subespacio es una relación de equivalencia, podemos mirar las clases de equivalencia de mapas entre una X e Y fijas . Si arreglamos, el intervalo unitario [0, 1] se cruzó consigo mismo n veces, y tomamos su límite como un subespacio, entonces las clases de equivalencia forman un grupo, denotado , dónde está en la imagen del subespacio .
Podemos definir la acción de una clase de equivalencia sobre otra, y así obtenemos un grupo. Estos grupos se denominan grupos de homotopía . En el caso, también se le llama el grupo fundamental .
Categoría de homotopía
La idea de homotopía se puede convertir en una categoría formal de teoría de categorías . La categoría de homotopía es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son clases de equivalencia de homotopía de mapas continuos. Dos espacios topológicos X e Y son isomorfos en esta categoría si y solo si son homotopía-equivalentes. Entonces, un funtor en la categoría de espacios topológicos es invariante de homotopía si se puede expresar como un funtor en la categoría de homotopía.
Por ejemplo, los grupos de homología son un invariante de homotopía functorial : esto significa que si f y g de X a Y son homotópicos, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de los grupos de homología son los mismos: H n ( f ) = H n ( g ): H n ( X ) → H n ( Y ) para todos los n . Del mismo modo, si X e Y están además conectados por caminos , y la homotopía entre f y g es apuntada, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de los grupos de homotopía también son los mismos: π n ( f ) = π n ( g ): π norte ( X ) → π norte ( Y ).
Aplicaciones
Partiendo del concepto de homotopía, se han desarrollado métodos de cálculo para ecuaciones algebraicas y diferenciales . Los métodos para ecuaciones algebraicas incluyen el método de continuación de homotopía [8] y el método de continuación (ver continuación numérica ). Los métodos para ecuaciones diferenciales incluyen el método de análisis de homotopía .
Ver también
- Equivalencia de homotopía de fibra (versión relativa de una equivalencia de homotopía)
- Homeotopía
- Teoría del tipo de homotopía
- Grupo de clases de mapeo
- Conjetura de Poincaré
- Homotopía regular
Referencias
- ^ "Homotopía | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 17 de agosto de 2019 .
- ^ Homotopía de ruta y funciones continuas por separado
- ^ Allen., Hatcher (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press. pag. 185. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394 .
- ^ Albin, Pierre (2019). "Historia de la topología algebraica" .
- ^ Allen., Hatcher (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press. pag. 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Isotopy" . MathWorld .
- ^ Monroe, Hunter (1 de noviembre de 2008). "¿Son indeseables las violaciones de la causalidad?". Fundamentos de la Física . 38 (11): 1065–1069. arXiv : gr-qc / 0609054 . Código Bibliográfico : 2008FoPh ... 38.1065M . doi : 10.1007 / s10701-008-9254-9 . ISSN 0015-9018 .
- ^ Allgower, Eugene; Georg, Kurt. "Introducción a los métodos numéricos de continuación" (PDF) . CSU . Consultado el 22 de febrero de 2020 .
Fuentes
- Armstrong, MA (1979). Topología básica . Saltador. ISBN 978-0-387-90839-7.
- "Homotopy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Isotopía (en topología)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Saltador. ISBN 978-0-387-94426-5.