El método del elemento analítico ( AEM ) es un método numérico utilizado para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . [1] [2] [3] Fue desarrollado inicialmente por ODL Strack en la Universidad de Minnesota . Es de naturaleza similar al método de elementos de contorno (BEM), ya que no se basa en la discretización de volúmenes o áreas en el sistema modelado; sólo se discretizan los límites internos y externos. Una de las principales distinciones entre AEM y BEM es que las integrales de los límites se calculan analíticamente.
Base matematica
La premisa básica del método del elemento analítico es que, para las ecuaciones diferenciales lineales , las soluciones elementales pueden superponerse para obtener soluciones más complejas. Hay disponible un conjunto de soluciones analíticas 2D y 3D ("elementos") para diferentes ecuaciones de gobierno. Estos elementos normalmente corresponden a una discontinuidad en la variable dependiente o su gradiente a lo largo de un límite geométrico (por ejemplo, punto, línea, elipse, círculo, esfera, etc.). Esta discontinuidad tiene una forma funcional específica (generalmente un polinomio en 2D) y puede manipularse para satisfacer las condiciones de frontera de Dirichlet, Neumann o Robin (mixtas). Cada solución analítica es infinita en el espacio y / o el tiempo.
Por lo general, cada solución analítica contiene grados de libertad (coeficientes) que pueden calcularse para cumplir con las condiciones de contorno prescritas a lo largo del borde del elemento. Para obtener una solución global (es decir, los coeficientes correctos de los elementos), se resuelve un sistema de ecuaciones de manera que las condiciones de contorno se satisfagan a lo largo de todos los elementos (usando colocación , minimización de mínimos cuadrados o un enfoque similar). En particular, la solución global proporciona una descripción espacialmente continua de la variable dependiente en todas partes del dominio infinito, y la ecuación gobernante se satisface exactamente en todas partes excepto a lo largo del borde del elemento, donde la ecuación gobernante no es estrictamente aplicable debido a la discontinuidad.
La capacidad de superponer numerosos elementos en una sola solución significa que se pueden realizar soluciones analíticas para condiciones de contorno arbitrariamente complejas. Es decir, los modelos que tienen geometrías complejas, límites rectos o curvos, límites múltiples, condiciones de límite transitorias, múltiples capas de acuíferos, propiedades que varían por partes y propiedades que varían continuamente se pueden resolver. Los elementos se pueden implementar utilizando expansiones de campo lejano de modo que el modelo que contiene muchos miles de elementos se pueda resolver de manera eficiente con alta precisión.
El método del elemento analítico se ha aplicado a problemas de flujo de agua subterránea regidos por una variedad de ecuaciones diferenciales parciales lineales que incluyen la ecuación de Laplace , la ecuación de Poisson , la ecuación de Helmholtz modificada, la ecuación de calor y las ecuaciones biarmónicas . A menudo, estas ecuaciones se resuelven utilizando variables complejas, lo que permite utilizar técnicas matemáticas disponibles en la teoría de variables complejas. Una técnica útil para resolver problemas complejos es utilizar un mapeo conforme que mapea el límite de una geometría, por ejemplo, una elipse, en el límite del círculo unitario donde se conoce la solución.
En el método del elemento analítico se utiliza el potencial de descarga y la función de corriente , o el potencial complejo combinado. Este potencial vincula las propiedades físicas del sistema de aguas subterráneas, la altura hidráulica o los límites de flujo, con una representación matemática en un potencial. Esta representación matemática se puede utilizar para calcular el potencial en términos de posición y, por lo tanto, también para resolver problemas de flujo de agua subterránea. Los elementos se desarrollan resolviendo las condiciones de contorno para cualquiera de estas dos propiedades, altura hidráulica o límite de flujo, lo que da como resultado soluciones analíticas capaces de lidiar con numerosas condiciones de contorno.
Un estudiante contemporáneo de Strack que propone el Método del Elemento Analítico (AEM) en aplicaciones de modelado de aguas subterráneas es el Dr. David Steward de la Universidad Estatal de Dakota del Norte.
Comparación con otros métodos
Como se mencionó, el método del elemento analítico no se basa en la discretización del volumen o área en el modelo, como en los elementos finitos o métodos finitos diferentes . Por lo tanto, puede modelar un problema complejo con un error en el orden de precisión de la máquina. Esto se ilustra en un estudio que modeló un acuífero isotrópico altamente heterogéneo al incluir 100.000 heterogeneidad esférica con una conductividad aleatoria y rastrear 40.000 partículas. [4] El método del elemento analítico se puede utilizar eficazmente como verificación o como herramienta de selección en proyectos más grandes, ya que puede calcular de forma rápida y precisa el flujo de agua subterránea para muchos problemas complejos. [5] [6]
A diferencia de otros métodos de modelado de aguas subterráneas de uso común, por ejemplo, los elementos finitos o el método diferente finito , el AEM no divide el dominio del modelo en celdas. Esto da la ventaja de que el modelo es válido para cualquier punto dado en el dominio del modelo. Sin embargo, también impone que el dominio no se divide tan fácilmente en regiones de, por ejemplo, diferente conductividad hidráulica, como cuando se modela con una cuadrícula de celdas. Si bien existen algunas soluciones que se ocupan de esto, por ejemplo, existen soluciones para implementar propiedades o estructuras que varían verticalmente en un acuífero en un modelo AEM. [7] [8] [9]
Ver también
Referencias
- ^ Strack, Otto DL, 1943- (1989). Mecánica de aguas subterráneas . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-365412-5. OCLC 16276592 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Strack, Otto DL (agosto de 2017). Mecánica analítica de aguas subterráneas . Cambridge Core . doi : 10.1017 / 9781316563144 . ISBN 9781316563144. Consultado el 20 de abril de 2020 .
- ^ Haitjema, HM (Henk M.) (1995). Modelado de elementos analíticos del flujo de aguas subterráneas . San Diego: Prensa académica. ISBN 978-0-08-049910-9. OCLC 162129095 .
- ^ Janković, I .; Fiori, A .; Dagan, G. (2006). "Modelado de flujo y transporte en acuíferos tridimensionales muy heterogéneos: ergodicidad, gaussianidad y comportamiento anómalo: 1. Problemas conceptuales y simulaciones numéricas" . Investigación de recursos hídricos . 42 (6): W06D12. Código Bibliográfico : 2006WRR .... 42.6D12J . doi : 10.1029 / 2005WR004734 . ISSN 1944-7973 .
- ^ Hunt, Randall J. (2006). "Aplicaciones de modelado de agua subterránea utilizando el método de elemento analítico". Agua subterránea . 44 (1): 5–15. doi : 10.1111 / j.1745-6584.2005.00143.x . ISSN 1745-6584 . PMID 16405461 .
- ^ Kraemer, Stephen R. (2007). "Modelado de elementos analíticos de aguas subterráneas como programa de investigación (1980 a 2006)". Agua subterránea . 45 (4): 402–408. doi : 10.1111 / j.1745-6584.2007.00314.x . ISSN 1745-6584 . PMID 17600570 .
- ^ Bakker, Mark; Strack, Otto DL (10 de febrero de 2003). "Elementos analíticos para flujo multiacuífero" . Revista de hidrología . 271 (1): 119-129. doi : 10.1016 / S0022-1694 (02) 00319-0 . ISSN 0022-1694 .
- ^ Strack, ODL; Ausk, BK (agosto de 2015). "Una formulación para el flujo de agua subterránea integrado verticalmente en un acuífero costero estratificado: FLUJO DE ACUÍFERO COSTERO ESTRATIFICADO" . Investigación de recursos hídricos . 51 (8): 6756–6775. doi : 10.1002 / 2015WR016887 .
- ^ Toller, Erik AL; Strack, Otto DL (2019). "Flujo de interfaz con conductividad hidráulica variable verticalmente". Investigación de recursos hídricos . 55 (11): 8514–8525. doi : 10.1029 / 2019WR024927 . ISSN 1944-7973 .
Leer más
- Haitjema, HM (1995). Modelado de elementos analíticos del flujo de aguas subterráneas . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3.
- Strack, ODL (1989). Mecánica de aguas subterráneas . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall.
- Fitts, CR (2012). Groundwater Science (2ª ed.). San Diego, CA: Elsevier / Academic Press. ISBN 9780123847058.
enlaces externos
- Wiki de la comunidad de elementos analíticos
- Fitts Geolsolutions, AnAqSim (simulador analítico de acuíferos) y sitio web AnAqSimEDU (gratuito)