En matemáticas, un método de colocación es un método para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias , ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones integrales . La idea es elegir un espacio de dimensiones finitas de soluciones candidatas (generalmente polinomios hasta cierto grado) y un número de puntos en el dominio (llamados puntos de colocación ), y seleccionar la solución que satisfaga la ecuación dada en los puntos de colocación. .
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Suponga que la ecuación diferencial ordinaria
debe resolverse en el intervalo . Escogerde 0 ≤ c 1 < c 2 <… < c n ≤ 1.
El método de colocación correspondiente (polinomio) aproxima la solución y por el polinomio p de grado n que satisface la condición inicial, y la ecuación diferencial
en todos los puntos de colocación por . Esto da n + 1 condiciones, que coincide con los n + 1 parámetros necesarios para especificar un polinomio de grado n .
Todos estos métodos de colocación son de hecho métodos implícitos de Runge-Kutta . Los coeficientes c k en el cuadro de Butcher de un método de Runge-Kutta son los puntos de colocación. Sin embargo, no todos los métodos implícitos de Runge-Kutta son métodos de colocación. [1]
Ejemplo: la regla trapezoidal
Elija, como ejemplo, los dos puntos de colocación c 1 = 0 y c 2 = 1 (entonces n = 2). Las condiciones de colocación son
Hay tres condiciones, por lo que p debería ser un polinomio de grado 2. Escribe p en la forma
para simplificar los cálculos. Entonces las condiciones de colocación se pueden resolver para dar los coeficientes
El método de colocación ahora viene dado (implícitamente) por
donde y 1 = p ( t 0 + h ) es la solución aproximada en t = t 0 + h .
Este método se conoce como la " regla trapezoidal " para ecuaciones diferenciales. De hecho, este método también se puede derivar reescribiendo la ecuación diferencial como
y aproximando la integral del lado derecho por la regla trapezoidal para integrales.
Otros ejemplos
Los métodos de Gauss-Legendre utilizan los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre como puntos de colocación. El método de Gauss-Legendre basado en puntos s tiene un orden de 2 s . [2] Todos los métodos de Gauss-Legendre son A-estables . [3]
De hecho, se puede demostrar que el orden de un método de colocación corresponde al orden de la regla de cuadratura que se obtendría usando los puntos de colocación como pesos.
Notas
- ^ Ascher y Petzold 1998 ; Iserles 1996 , págs. 43–44
- ^ Iserles 1996 , págs. 47
- ^ Iserles 1996 , págs.63
Referencias
- Ascher, Uri M .; Petzold, Linda R. (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales , Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas , ISBN 978-0-89871-412-8.
- Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: Problemas no rígidos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
- Iserles, Arieh (1996), Un primer curso en el análisis numérico de ecuaciones diferenciales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
- Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "Un método racional de colocación espectral para resolver una clase de problemas de perturbación singular parametrizados", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 (10): 2652-2660, doi : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.