Una cancelación anómala o una cancelación accidental es un tipo particular de error de procedimiento aritmético que da una respuesta numéricamente correcta. Se intenta reducir una fracción cancelando dígitos individuales en el numerador y denominador . Esta no es una operación legítima y, en general, no da una respuesta correcta, pero en algunos casos raros el resultado es numéricamente el mismo que si se hubiera aplicado un procedimiento correcto. [1] Se ignoran los casos triviales de cancelar ceros finales o donde todos los dígitos son iguales.
Cancelación anómala
en cálculo
Ejemplos de cancelaciones anómalas que aún producen el resultado correcto incluyen (estos y sus inversos son todos los casos en base 10 con la fracción diferente de 1 y con dos dígitos):
El artículo de Boas analiza casos de dos dígitos en bases distintas a la base 10 , por ejemplo, 32/13 = 2/1 y su inverso son las únicas soluciones en base 4 con dos dígitos. [2]
La cancelación anómala ocurre también con más dígitos, por ejemplo, 165/462 = 15/42 y aquellos con diferentes números de dígitos (98/392 = 8/32).
Propiedades elementales
Cuando la base es prima, no existen soluciones de dos dígitos. Esto se puede demostrar por contradicción: supongamos que existe una solución, y sin pérdida de generalidad podemos decir que esta solución es
donde la línea indica la concatenación de dígitos . Así tenemos
Pero ya que son dígitos en la base aún Lo que significa que por lo tanto, el lado derecho es cero, lo que significa que el lado izquierdo también debe ser cero, es decir , una contradicción.
Otra propiedad es que el número de soluciones en una base es extraño si y solo si es un cuadrado par. Esto se puede demostrar de manera similar a lo anterior: supongamos que tenemos una solución
Luego, haciendo la misma manipulación, obtenemos
Suponer que . Entonces nota quetambién es una solución a la ecuación. Esto casi establece una involución del conjunto de soluciones a sí mismo, pero surge un problema cuando. En este caso, podemos sustituir para obtener así que esto solo tiene soluciones cuando es un cuadrado. Dejar. Rendimiento de enraizamiento y reordenamiento cuadrado. Dado que el máximo común divisor de es uno, sabemos que . Señalando que, esta tiene precisamente las soluciones es decir, tiene un número impar de soluciones cuando es un cuadrado par. Se puede probar lo contrario del enunciado observando que todas estas soluciones satisfacen los requisitos iniciales.
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Cancelación anómala" . MathWorld .
- ^ a b Boas, RP "Cancelación anómala". Ch. 6 en Ciruelas matemáticas (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Matemáticas. Assoc. Amer. , págs. 113-129, 1979.