Definición matemáticaConsidere una función de onda que depende del espacio y las coordenadas de giro de N fermiones:
donde el vector de posición r i de la partícula i es un vector eny σ i toma 2 s + 1 valores, donde s es el espín intrínseco semi-integral del fermión. Para los electrones s = 1/2 y σ puede tener dos valores ("spin-up": 1/2 y "spin-down": −1/2). Se supone que las posiciones de las coordenadas en la notación para Ψ tienen un significado bien definido. Por ejemplo, la función de 2 fermiones Ψ (1,2) en general no será la misma que Ψ (2,1). Esto implica que en generaly por lo tanto podemos definir significativamente un operador de transposición que intercambia las coordenadas de la partícula i y j . En general este operador no será igual al operador de identidad (aunque en casos especiales puede serlo).
Una transposición tiene la paridad (también conocida como firma) -1. El principio de Pauli postula que una función de onda de fermiones idénticos debe ser una función propia de un operador de transposición con su paridad como valor propio.
Aquí asociamos el operador de transposición con la permutación de coordenadas π que actúa sobre el conjunto de N coordenadas. En este caso π = ( ij ), donde ( ij ) es la notación cíclica para la transposición de las coordenadas de las partículas i y j .
Las transposiciones se pueden componer (aplicar en secuencia). Esto define un producto entre las transposiciones que es asociativo . Se puede demostrar que una permutación arbitraria de N objetos se puede escribir como un producto de transposiciones y que el número de transposiciones en esta descomposición es de paridad fija. Es decir, o una permutación siempre se descompone en un número par de transposiciones (la permutación se llama par y tiene la paridad +1), o una permutación siempre se descompone en un número impar de transposiciones y luego es una permutación impar con paridad −1. Denotando la paridad de una permutación arbitraria π por (−1) π , se deduce que una función de onda antisimétrica satisface
donde asociamos el operador lineal con la permutación π.
El conjunto de todos los N ! permutaciones con el producto asociativa: "Aplicar una permutación después de la otra", es un grupo, conocido como el grupo de la permutación o grupo simétrico , denotado por S N . Definimos el antisimetrizador como
Propiedades del antisimetrizadorEn la teoría de la representación de grupos finitos, el antisimetrizador es un objeto bien conocido, porque el conjunto de paridadesforma una representación unidimensional (y por tanto irreductible) del grupo de permutación conocido como representación antisimétrica . Siendo la representación unidimensional, el conjunto de paridades forma el carácter de la representación antisimétrica. El antisimetrizador es de hecho un operador de proyección de caracteres y es casi idempotente ,
Esto tiene la consecuencia de que para cualquier función de onda de partículas N Ψ (1, ..., N ) tenemos
O Ψ no tiene un componente antisimétrico, y luego el antisimetrizador se proyecta hacia cero, o tiene uno y luego el antisimetrizador proyecta este componente antisimétrico Ψ '. El antisimetrizador lleva una representación izquierda y derecha del grupo:
con el operador que representa la permutación de coordenadas π. Ahora se mantiene, para cualquier función de onda de partículas N Ψ (1, ..., N ) con un componente antisimétrico que no desaparece, que
mostrando que el componente que no desaparece es de hecho antisimétrico.
Si una función de onda es simétrica bajo cualquier permutación de paridad impar, no tiene componente antisimétrico. De hecho, suponga que la permutación π, representada por el operador, tiene paridad impar y que Ψ es simétrico, entonces
Como ejemplo de una aplicación de este resultado, asumimos que Ψ es un producto orbital de espín . Suponga además que un orbital de espín ocurre dos veces (está "doblemente ocupado") en este producto, una vez con la coordenada k y otra con la coordenada q . Entonces el producto es simétrico bajo la transposición ( k , q ) y por lo tanto desaparece. Observe que este resultado da la formulación original del principio de Pauli : dos electrones no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos (estar en el mismo orbital de espín).
Las permutaciones de partículas idénticas son unitarias (el adjunto hermitiano es igual al inverso del operador), y dado que π y π −1 tienen la misma paridad, se deduce que el antisimetrizador es hermitiano,
El antisimetrizador conmuta con cualquier observable (Operador hermitiano correspondiente a una cantidad física observable)
Si fuera de otro modo, la medicin de podría distinguir las partículas, en contradicción con la suposición de que solo las coordenadas de partículas indistinguibles se ven afectadas por el antisimetrizador.
Conexión con determinante de SlaterEn el caso especial de que la función de onda a ser antisimetrizada sea un producto de los orbitales de espín
el determinante de Slater es creado por el antisimetrizador que opera sobre el producto de los orbitales de giro, como se muestra a continuación:
La correspondencia se sigue inmediatamente de la fórmula de Leibniz para determinantes , que dice
donde B es la matriz
Para ver la correspondencia, notamos que las etiquetas de fermiones, permutadas por los términos en el antisimetrizador, etiquetan diferentes columnas (son segundos índices). Los primeros índices son índices orbitales, n 1 , ..., n N que etiquetan las filas.
Ejemplo
Según la definición del antisimetrizador
Considere el determinante de Slater
Por la expansión de Laplace a lo largo de la primera fila de D
así que eso
Al comparar términos, vemos que
Antisimetrizador intermolecularUno a menudo se encuentra con una función de onda de la forma del producto. donde la función de onda total no es antisimétrica, pero los factores son antisimétricos,
y
Aquí antisimetriza las primeras partículas N A yantisimetriza el segundo conjunto de partículas N B. Los operadores que aparecen en estos dos antisymmetrizers representan los elementos de los subgrupos S N A y S N B , respectivamente, de S N A + N B .
Típicamente, uno cumple tales funciones de onda parcialmente antisimétricas en la teoría de las fuerzas intermoleculares , dondees la función de onda electrónica de la molécula A yes la función de onda de la molécula de B . Cuando A y B interactúan, el principio de Pauli requiere la antisimetría de la función de onda total, también bajo permutaciones intermoleculares.
El sistema total puede ser antisimetrizado por el antisimetrizador total que consta de ( N A + N B )! Los términos en el grupo S N A + N B . Sin embargo, de esta forma no se aprovecha la antisimetría parcial que ya está presente. Es más económico utilizar el hecho de que el producto de los dos subgrupos también es un subgrupo, y considerar las clases laterales izquierdas de este grupo de productos en S N A + N B :
donde τ es un representante de la clase lateral izquierda. Desde
podemos escribir
El operador representa el representante de clase lateral τ (una permutación de coordenadas intermoleculares). Obviamente el antisimetrizador intermolecular tiene un factor N A ! N B ! menos términos que el antisimetrizador total. Finalmente,
para que veamos que basta con actuar con si las funciones de onda de los subsistemas ya son antisimétricas.
Ver tambiénReferencias- ^ PAM Dirac, Los principios de la mecánica cuántica , 4ª edición, Clarendon, Oxford Reino Unido, (1958) p. 248