En álgebra , la fórmula de Leibniz , nombrada en honor a Gottfried Leibniz , expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Si A es una matriz n × n , donde a i , j es la entrada en la i- ésima fila y la j- ésima columna de A , la fórmula es
donde sgn es la función de signo de las permutaciones en el grupo de permutación S n , que devuelve +1 y −1 para las permutaciones pares e impares , respectivamente.
Otra notación común utilizada para la fórmula es en términos del símbolo Levi-Civita y hace uso de la notación de suma de Einstein , donde se convierte en
que puede resultar más familiar para los físicos.
Evaluar directamente la fórmula de Leibniz a partir de la definición requiere las operaciones en general, es decir, una serie de operaciones asintóticamente proporcional a n factorial -porque n ! es el número de orden- n permutaciones. Esto es impracticablemente difícil para n grandes . En cambio, el determinante se puede evaluar en operaciones O ( n 3 ) formando la descomposición LU (normalmente a través de la eliminación de Gauss o métodos similares), en cuyo casoy los determinantes de las matrices triangulares L y U son simplemente los productos de sus entradas diagonales. (Sin embargo, en aplicaciones prácticas del álgebra lineal numérica, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante). Véase, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997) .
Teorema. Existe exactamente una función
que está alternando columnas wrt multilineales y tal que.
Prueba.
Singularidad: dejar ser tal función, y dejar frijol matriz. Llamada la -a columna de , es decir , así que eso
Además, deja denotar el -avo vector de columna de la matriz identidad.
Ahora uno escribe cada uno de los es en términos de , es decir
- .
Como es multilineal, uno tiene
De la alternancia se deduce que cualquier término con índices repetidos es cero. Por lo tanto, la suma se puede restringir a tuplas con índices no repetidos, es decir, permutaciones:
Como F es alternante, las columnas se puede intercambiar hasta que se convierta en la identidad. La función de signo se define para contar el número de intercambios necesarios y contabilizar el cambio de signo resultante. Uno finalmente obtiene:
como se requiere que sea igual a .
Por lo tanto, ninguna función además de la función definida por la fórmula de Leibniz puede ser una función alterna multilineal con .
Existencia: Ahora mostramos que F, donde F es la función definida por la fórmula de Leibniz, tiene estas tres propiedades.
Multilineal :
Alternando :
Para cualquier dejar ser la tupla igual a con el y índices cambiados.
Así que si luego .
Finalmente, :
Así, las únicas funciones multilineales alternas con están restringidas a la función definida por la fórmula de Leibniz, y de hecho también tiene estas tres propiedades. Por tanto, el determinante puede definirse como la única función
con estas tres propiedades.