El principio de exclusión de Pauli es el principio de la mecánica cuántica que establece que dos o más fermiones idénticos (partículas con espín medio entero ) no pueden ocupar el mismo estado cuántico dentro de un sistema cuántico simultáneamente. Este principio fue formulado por el físico austriaco Wolfgang Pauli en 1925 para los electrones , y luego se extendió a todos los fermiones con su teorema de estadística de espín de 1940.
En el caso de los electrones en los átomos, se puede afirmar como sigue: es imposible que dos electrones de un átomo polielectrónico tengan los mismos valores de los cuatro números cuánticos : n , el número cuántico principal ; ℓ , el número cuántico azimutal ; m ℓ , el número cuántico magnético ; y m s , el número cuántico de espín . Por ejemplo, si dos electrones residen en el mismo orbital , entonces sus valores n , ℓ y m ℓ son los mismos; por lo tanto, sus m s deben ser diferentes y, por lo tanto, los electrones deben tener proyecciones de espín de medio entero opuestas de 1/2 y -1/2.
Las partículas con un espín entero, o bosones , no están sujetas al principio de exclusión de Pauli: cualquier número de bosones idénticos puede ocupar el mismo estado cuántico, como ocurre, por ejemplo, con los fotones producidos por un láser o los átomos en un condensado de Bose-Einstein .
Una afirmación más rigurosa es que, con respecto al intercambio de dos partículas idénticas, la función de onda total (muchas partículas) es antisimétrica para los fermiones y simétrica para los bosones. Esto significa que si se intercambian las coordenadas espaciales y de espín de dos partículas idénticas, entonces la función de onda total cambia su signo para los fermiones y no cambia para los bosones.
Si dos fermiones estuvieran en el mismo estado (por ejemplo, el mismo orbital con el mismo giro en el mismo átomo), intercambiarlos no cambiaría nada y la función de onda total no cambiaría. La única forma en que la función de onda total puede cambiar de signo como se requiere para los fermiones y también permanecer sin cambios es que esta función debe ser cero en todas partes, lo que significa que el estado no puede existir. Este razonamiento no se aplica a los bosones porque el signo no cambia.
Descripción general
El principio de exclusión de Pauli describe el comportamiento de todos los fermiones (partículas con " espín medio entero "), mientras que los bosones (partículas con "espín entero") están sujetos a otros principios. Los fermiones incluyen partículas elementales como quarks , electrones y neutrinos . Además, los bariones como los protones y neutrones ( partículas subatómicas compuestas por tres quarks) y algunos átomos (como el helio-3 ) son fermiones y, por lo tanto, también se describen mediante el principio de exclusión de Pauli. Los átomos pueden tener un "giro" general diferente, lo que determina si son fermiones o bosones; por ejemplo, el helio-3 tiene un giro 1/2 y, por lo tanto, es un fermión, en contraste con el helio-4, que tiene un giro 0 y es un bosón. [1] : 123-125 Como tal, el principio de exclusión de Pauli sustenta muchas propiedades de la materia cotidiana, desde su estabilidad a gran escala, hasta el comportamiento químico de los átomos .
"Spin medio entero" significa que el valor intrínseco del momento angular de los fermiones es( constante de Planck reducida ) multiplicado por medio entero (1/2, 3/2, 5/2, etc.). En la teoría de la mecánica cuántica, los fermiones se describen mediante estados antisimétricos . En contraste, las partículas con espín entero (llamadas bosones) tienen funciones de onda simétricas; a diferencia de los fermiones, pueden compartir los mismos estados cuánticos. Los bosones incluyen el fotón , los pares de Cooper que son responsables de la superconductividad , y los bosones W y Z . (Los fermiones toman su nombre de la distribución estadística de Fermi-Dirac que obedecen, y los bosones de su distribución de Bose-Einstein ).
Historia
A principios del siglo XX se hizo evidente que los átomos y moléculas con números pares de electrones son químicamente más estables que aquellos con números impares de electrones. En el artículo de 1916 "El átomo y la molécula" de Gilbert N. Lewis , por ejemplo, el tercero de sus seis postulados de comportamiento químico establece que el átomo tiende a contener un número par de electrones en cualquier capa dada, y especialmente a contener ocho electrones, que se cree que suelen estar dispuestos simétricamente en las ocho esquinas de un cubo . [2] En 1919, el químico Irving Langmuir sugirió que la tabla periódica podría explicarse si los electrones de un átomo estuvieran conectados o agrupados de alguna manera. Se pensaba que los grupos de electrones ocupaban un conjunto de capas de electrones alrededor del núcleo. [3] En 1922, Niels Bohr actualizó su modelo del átomo asumiendo que cierto número de electrones (por ejemplo, 2, 8 y 18) correspondían a "capas cerradas" estables. [4] : 203
Pauli buscó una explicación para estos números, que al principio eran solo empíricos . Al mismo tiempo, estaba tratando de explicar los resultados experimentales del efecto Zeeman en espectroscopía atómica y en ferromagnetismo . Encontró una pista esencial en un artículo de 1924 de Edmund C. Stoner , que señalaba que, para un valor dado del número cuántico principal ( n ), el número de niveles de energía de un solo electrón en los espectros de metales alcalinos en un exterior El campo magnético, donde todos los niveles de energía degenerados están separados, es igual al número de electrones en la capa cerrada de los gases nobles por el mismo valor de n . Esto llevó a Pauli a darse cuenta de que la complicada cantidad de electrones en capas cerradas se puede reducir a la regla simple de un electrón por estado si los estados de los electrones se definen usando cuatro números cuánticos. Para ello, introdujo un nuevo número cuántico de dos valores, identificado por Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck como espín de electrones . [5] [6]
Conexión a la simetría de estado cuántico
El principio de exclusión de Pauli con una función de onda de muchas partículas de valor único es equivalente a requerir que la función de onda sea antisimétrica con respecto al intercambio . Si y rango sobre los vectores base del espacio de Hilbert que describen un sistema de una partícula, entonces el producto tensorial produce los vectores basedel espacio de Hilbert que describe un sistema de dos de tales partículas. Cualquier estado de dos partículas se puede representar como una superposición (es decir, la suma) de estos vectores básicos:
donde cada A ( x , y ) es un coeficiente escalar (complejo). Antisimetría bajo intercambio significa que A ( x , y ) = - A ( y , x ) . Esto implica A ( x , y ) = 0 cuando x = y , que es la exclusión de Pauli. Es cierto en cualquier base, ya que los cambios locales de base mantienen antisimétricas las matrices antisimétricas.
Por el contrario, si las cantidades diagonales A ( x , x ) son cero en todas las bases , entonces el componente de función de onda
es necesariamente antisimétrico. Para probarlo, considere el elemento de la matriz
Esto es cero, porque las dos partículas tienen cero probabilidad de que ambas estén en el estado de superposición. . Pero esto es igual a
El primer y último término son elementos diagonales y son cero, y la suma total es igual a cero. Entonces los elementos de la matriz de función de onda obedecen:
o
Para un sistema con n > 2 partículas, los estados base de múltiples partículas se convierten en productos tensoriales de n veces los estados base de una partícula, y los coeficientes de la función de ondase identifican por n estados de una partícula. La condición de antisimetría establece que los coeficientes deben cambiar el signo cada vez que se intercambian dos estados: para cualquier . El principio de exclusión es la consecuencia de que, si para cualquier luego Esto muestra que ninguna de las n partículas puede estar en el mismo estado.
Teoría cuántica avanzada
Según el teorema de la estadística de espín , las partículas con espín entero ocupan estados cuánticos simétricos y las partículas con espín medio entero ocupan estados antisimétricos; además, los principios de la mecánica cuántica solo permiten valores enteros o semientos de espín. En la teoría relativista de campos cuánticos , el principio de Pauli se deriva de aplicar un operador de rotación en un tiempo imaginario a partículas de espín medio entero.
En una dimensión, tanto los bosones como los fermiones pueden obedecer al principio de exclusión. Un gas Bose unidimensional con interacciones repulsivas de función delta de fuerza infinita es equivalente a un gas de fermiones libres. La razón de esto es que, en una dimensión, el intercambio de partículas requiere que se atraviesen entre sí; para una repulsión infinitamente fuerte esto no puede suceder. Este modelo se describe mediante una ecuación cuántica no lineal de Schrödinger . En el espacio de momento, el principio de exclusión es válido también para la repulsión finita en un gas Bose con interacciones de función delta, [7] así como para espines interactivos y el modelo de Hubbard en una dimensión, y para otros modelos que se pueden resolver con Bethe ansatz . El estado fundamental en los modelos que se pueden resolver con Bethe ansatz es una esfera de Fermi .
Aplicaciones
Átomos
El principio de exclusión de Pauli ayuda a explicar una amplia variedad de fenómenos físicos. Una consecuencia particularmente importante del principio es la estructura elaborada de la capa de electrones de los átomos y la forma en que los átomos comparten electrones, lo que explica la variedad de elementos químicos y sus combinaciones químicas. Un átomo eléctricamente neutro contiene electrones ligados igual en número a los protones en el núcleo . Los electrones, al ser fermiones, no pueden ocupar el mismo estado cuántico que otros electrones, por lo que los electrones tienen que "apilarse" dentro de un átomo, es decir, tener diferentes espines mientras están en el mismo orbital de electrones, como se describe a continuación.
Un ejemplo es el átomo de helio neutro , que tiene dos electrones ligados, los cuales pueden ocupar los estados de menor energía ( 1s ) adquiriendo espín opuesto; como el espín es parte del estado cuántico del electrón, los dos electrones están en estados cuánticos diferentes y no violan el principio de Pauli. Sin embargo, el giro solo puede tomar dos valores diferentes (valores propios ). En un átomo de litio , con tres electrones ligados, el tercer electrón no puede residir en un estado 1s y debe ocupar uno de los estados 2s de mayor energía en su lugar. De manera similar, los elementos sucesivamente más grandes deben tener capas de energía sucesivamente más alta. Las propiedades químicas de un elemento dependen en gran medida del número de electrones en la capa más externa; los átomos con diferentes números de capas de electrones ocupadas pero el mismo número de electrones en la capa más externa tienen propiedades similares, lo que da lugar a la tabla periódica de los elementos . [8] : 214–218
Para probar el principio de exclusión de Pauli para el átomo de He, Gordon Drake [9] realizó cálculos muy precisos para estados hipotéticos del átomo de He que lo violan, que se denominan estados parónicos . Posteriormente, K. Deilamian et al. [10] utilizó un espectrómetro de haz atómico para buscar el estado parónico 1s2s 1 S 0 calculado por Drake. La búsqueda no tuvo éxito y mostró que el peso estadístico de este estado parónico tiene un límite superior de 5x10 −6 . (El principio de exclusión implica un peso de cero).
Propiedades de estado sólido
En conductores y semiconductores , hay un gran número de orbitales moleculares que forman efectivamente una estructura de banda continua de niveles de energía . En los conductores fuertes ( metales ), los electrones están tan degenerados que ni siquiera pueden contribuir mucho a la capacidad térmica de un metal. [11] : 133–147 Muchas propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas, ópticas y químicas de los sólidos son la consecuencia directa de la exclusión de Pauli.
Estabilidad de la materia
La estabilidad de cada estado de un electrón en un átomo se describe mediante la teoría cuántica del átomo, que muestra que el acercamiento cercano de un electrón al núcleo aumenta necesariamente la energía cinética del electrón, una aplicación del principio de incertidumbre de Heisenberg. [12] Sin embargo, la estabilidad de sistemas grandes con muchos electrones y muchos nucleones es una cuestión diferente y requiere el principio de exclusión de Pauli. [13]
Se ha demostrado que el principio de exclusión de Pauli es responsable del hecho de que la materia a granel ordinaria es estable y ocupa volumen. Esta sugerencia fue hecha por primera vez en 1931 por Paul Ehrenfest , quien señaló que los electrones de cada átomo no pueden caer todos en el orbital de menor energía y deben ocupar capas sucesivamente más grandes. Los átomos, por lo tanto, ocupan un volumen y no se pueden comprimir demasiado juntos. [14]
Una prueba más rigurosa fue proporcionada en 1967 por Freeman Dyson y Andrew Lenard ( de ), quienes consideraron el equilibrio de las fuerzas atractivas (electrón-nuclear) y repulsivas (electrón-electrón y nuclear-nuclear) y mostraron que la materia ordinaria colapsaría y ocuparía un volumen mucho más pequeño sin el principio de Pauli. [15] [16]
La consecuencia del principio de Pauli aquí es que los electrones del mismo espín se mantienen separados por una interacción de intercambio repulsivo , que es un efecto de corto alcance, que actúa simultáneamente con la fuerza electrostática o coulombica de largo alcance . Este efecto es en parte responsable de la observación cotidiana en el mundo macroscópico de que dos objetos sólidos no pueden estar en el mismo lugar al mismo tiempo.
Astrofísica
Dyson y Lenard no consideraron las fuerzas magnéticas o gravitacionales extremas que ocurren en algunos objetos astronómicos . En 1995, Elliott Lieb y colaboradores demostraron que el principio de Pauli todavía conduce a la estabilidad en campos magnéticos intensos, como en las estrellas de neutrones , aunque a una densidad mucho más alta que en la materia ordinaria. [17] Es una consecuencia de la relatividad general que, en campos gravitacionales suficientemente intensos, la materia colapsa para formar un agujero negro .
La astronomía proporciona una demostración espectacular del efecto del principio de Pauli, en forma de enanas blancas y estrellas de neutrones . En ambos cuerpos, la estructura atómica se ve alterada por una presión extrema, pero las estrellas se mantienen en equilibrio hidrostático por la presión de degeneración , también conocida como presión de Fermi. Esta forma exótica de materia se conoce como materia degenerada . La inmensa fuerza gravitacional de la masa de una estrella normalmente se mantiene en equilibrio por la presión térmica causada por el calor producido en la fusión termonuclear en el núcleo de la estrella. En las enanas blancas, que no se someten a fusión nuclear, la presión de degeneración de electrones proporciona una fuerza opuesta a la gravedad . En las estrellas de neutrones , sujetas a fuerzas gravitacionales aún más fuertes, los electrones se han fusionado con los protones para formar neutrones. Los neutrones son capaces de producir una presión de degeneración aún mayor, presión de degeneración de neutrones , aunque en un rango más corto. Esto puede estabilizar las estrellas de neutrones de un mayor colapso, pero con un tamaño más pequeño y una densidad más alta que una enana blanca. Las estrellas de neutrones son los objetos más "rígidos" conocidos; su módulo de Young (o más exactamente, módulo de volumen ) es 20 órdenes de magnitud mayor que el del diamante . Sin embargo, incluso esta enorme rigidez puede ser superada por el campo gravitacional de una masa de estrellas de neutrones que excede el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , lo que lleva a la formación de un agujero negro . [18] : 286–287
Ver también
- Teorema de estadística de espín
- Fuerza de cambio
- Interacción de intercambio
- Simetría de intercambio
- Estadísticas de Fermi – Dirac
- Agujero de Fermi
- Regla de cien
- Efecto Pauli
Referencias
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enlaces externos
- Conferencia Nobel: Principio de Exclusión y Mecánica Cuántica Explicación de Pauli del desarrollo del Principio de Exclusión.