Categoría de coma

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En matemáticas , una categoría de coma (un caso especial es una categoría de rebanada ) es una construcción en la teoría de categorías . Proporciona otra forma de ver los morfismos : en lugar de simplemente relacionar objetos de una categoría entre sí, los morfismos se convierten en objetos por derecho propio. Esta noción fue introducida en 1963 por FW Lawvere (Lawvere, 1963 p. 36), aunque la técnica no ^{[ cita requerida ]} se volvió conocida en general hasta muchos años después. Varios conceptos matemáticos se pueden tratar como categorías de coma. Las categorías de coma también garantizan la existencia de algunos límites ycolímites . El nombre proviene de la notación utilizada originalmente por Lawvere, que involucraba el signo de puntuación coma . El nombre persiste a pesar de que la notación estándar ha cambiado, ya que el uso de una coma como operador es potencialmente confuso, e incluso a Lawvere no le gusta el término poco informativo "categoría de coma" (Lawvere, 1963 p. 13).

La construcción de categoría de coma más general involucra dos funtores con el mismo codominio. A menudo, uno de estos tendrá el dominio 1 (la categoría de un objeto y un morfismo). Algunas explicaciones de la teoría de categorías consideran solo estos casos especiales, pero el término categoría de coma es en realidad mucho más general.

Supongamos que , y son categorías, y y (para origen y destino) son funtores :${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ estilo de visualización S}$${\ estilo de visualización T}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {B}}}$

Podemos formar la categoría coma de la siguiente manera:${\ estilo de visualización (S \ flecha abajo T)}$

Los morfismos se componen tomando por ser , siempre que se defina esta última expresión. El morfismo de identidad en un objeto es .${\ estilo de visualización (f', g') \ circ (f, g)}$${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$${\ estilo de visualización (A, B, h)}$${\ estilo de visualización (\ mathrm {id} _ {A}, \ mathrm {id} _ {B})}$

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