Álgebra no asociativa
Un álgebra no asociativa [1] (o álgebra distributiva ) es un álgebra sobre un campo en el que no se supone que la operación de multiplicación binaria sea asociativa . Es decir, una estructura algebraica A es un álgebra no asociativa sobre un campo K si es un espacio vectorial sobre K y está equipada con una K - operación de multiplicación binaria bilineal A × A → A que puede o no ser asociativa. Los ejemplos incluyen álgebras de Lie ,Álgebras de Jordan , los octoniones y el espacio euclidiano tridimensional equipado con la operación de producto cruzado . Como no se supone que la multiplicación sea asociativa, es necesario usar paréntesis para indicar el orden de las multiplicaciones. Por ejemplo, las expresiones ( ab )( cd ), ( a ( bc )) dy a ( b ( cd ) ) pueden arrojar respuestas diferentes.
Si bien este uso de no asociativo significa que no se asume la asociatividad, no significa que no se permita la asociatividad. En otras palabras, "no asociativo" significa "no necesariamente asociativo", al igual que "no conmutativo" significa "no necesariamente conmutativo" para anillos no conmutativos .
Un álgebra es unitaria o unitaria si tiene un elemento de identidad e con ex = x = xe para todo x en el álgebra. Por ejemplo, los octoniones son unitarios, pero las álgebras de Lie nunca lo son.
La estructura del álgebra no asociativa de A puede estudiarse asociándola con otras álgebras asociativas que son subálgebras del álgebra completa de K : endomorfismos de A como un espacio vectorial K. Dos de ellas son el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) , siendo esta última en cierto sentido "el álgebra asociativa más pequeña que contiene A ".
De manera más general, algunos autores consideran el concepto de un álgebra no asociativa sobre un anillo conmutativo R : Un módulo R equipado con una operación de multiplicación binaria bilineal R. [2] Si una estructura obedece a todos los axiomas de los anillos excepto a la asociatividad (por ejemplo, cualquier álgebra R ), entonces es naturalmente un álgebra, por lo que algunos autores se refieren a las álgebras no asociativas como anillos no asociativos .
Las estructuras en forma de anillo con dos operaciones binarias y sin otras restricciones son una clase amplia, que es demasiado general para estudiar. Por esta razón, los tipos más conocidos de álgebras no asociativas satisfacen identidades , o propiedades, que simplifican un poco la multiplicación. Estos incluyen los siguientes.