En matemáticas , específicamente en geometría fractal , la dimensión Assouad es una definición de dimensión fractal para subconjuntos de un espacio métrico . Fue introducido por Patrice Assouad en su tesis doctoral de 1977 y posteriormente publicado en 1979. Fue definido anteriormente por Georges Bouligand (1928). Además de utilizarse para estudiar fractales, la dimensión Assouad también se ha utilizado para estudiar asignaciones cuasiconformales y problemas de incrustabilidad .
Definición
La dimensión Assouad de, es el mínimo de todos tal que es -homogéneo para algunos . [1]
Dejar ser un espacio métrico y dejar ser un subconjunto no vacío de . Para, dejar denotar el menor número de bolas métricas abiertas de radio menor o igual a r con las que es posible abrir la tapa del conjunto. La dimensión Assouad dese define como el mínimo para lo cual existen constantes positivas y para que, siempre que
el siguiente límite se mantiene:
La intuición subyacente a esta definición es que, para un conjunto E con dimensión entera "ordinaria" n , el número de bolas pequeñas de radio r necesarias para cubrir la intersección de una bola más grande de radio R con E escalará como (R/r) n .
Referencias
- ^ Robinson, James C. (2010). Dimensiones, incrustaciones y atractores , p.85. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781139495189 .
Otras lecturas
- Assouad, Patrice (1979). "Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans R n ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 288 (15): A731 – A734. ISSN 0151-0509 . SEÑOR532401
- Bouligand, MG (1928). "Ensembles impropres et nombredimensionnel", Bulletin des Sciences Mathématiques 52 , pp.320–344.