En matemáticas , la dimensión de Hausdorff es una medida de rugosidad , o más específicamente, dimensión fractal , que fue introducida por primera vez en 1918 por el matemático Felix Hausdorff . [2] Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff de un solo punto es cero, de un segmento de línea es 1, de un cuadrado es 2 y de un cubo es 3. Es decir, para conjuntos de puntos que definen una forma suave o una forma que tiene un pequeño número de esquinas (las formas de la geometría y la ciencia tradicionales) la dimensión de Hausdorff es un número enterode acuerdo con el sentido habitual de dimensión, también conocida como dimensión topológica . Sin embargo, también se han desarrollado fórmulas que permiten el cálculo de la dimensión de otros objetos menos simples, donde, únicamente en base a sus propiedades de escala y auto-semejanza , se llega a la conclusión de que los objetos particulares, incluidos los fractales, no tienen -Dimensiones de Hausdorff enteras. Debido a los importantes avances técnicos realizados por Abram Samoilovitch Besicovitch que permiten el cálculo de dimensiones para conjuntos muy irregulares o "rugosos", esta dimensión también se conoce comúnmente como la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
La dimensión de Hausdorff, más específicamente, es un número dimensional adicional asociado con un conjunto dado, donde se definen las distancias entre todos los miembros de ese conjunto. Tal conjunto se denomina espacio métrico . La dimensión se extrae de los números reales extendidos ,, a diferencia de la noción más intuitiva de dimensión, que no está asociada a espacios métricos generales y solo toma valores en los enteros no negativos.
En términos matemáticos, la dimensión de Hausdorff generaliza la noción de dimensión de un espacio vectorial real . Es decir, la dimensión de Hausdorff de un espacio de producto interno n- dimensional es igual a n . Esto subyace a la afirmación anterior de que la dimensión de Hausdorff de un punto es cero, de una línea es uno, etc., y que los conjuntos irregulares pueden tener dimensiones de Hausdorff no enteras. Por ejemplo, el copo de nieve de Koch que se muestra a la derecha está construido a partir de un triángulo equilátero; en cada iteración, sus segmentos de línea componentes se dividen en 3 segmentos de longitud unitaria, el segmento medio recién creado se usa como la base de un nuevo triángulo equilátero que apunta hacia afuera, y este segmento base luego se elimina para dejar un objeto final del iteración de longitud unitaria de 4. [3] Es decir, después de la primera iteración, cada segmento de línea original ha sido reemplazado con N = 4, donde cada copia auto-similar es 1 / S = 1/3 de la longitud del original. [1] Dicho de otra manera, hemos tomado un objeto con dimensión euclidiana, D, y reducido su escala lineal por un tercio en cada dirección, de modo que su longitud se incrementa a N = S D . [4] Esta ecuación se resuelve fácilmente para D, lo que produce la relación de logaritmos (o logaritmos naturales ) que aparecen en las figuras y da, en el caso de Koch y otros fractales, dimensiones no enteras para estos objetos.
La dimensión de Hausdorff es una sucesora de la dimensión de recuento de cajas o de Minkowski-Bouligand , más simple, pero generalmente equivalente .
Intuición
El concepto intuitivo de dimensión de un objeto geométrico X es el número de parámetros independientes que uno necesita para seleccionar un punto único en su interior. Sin embargo, cualquier punto especificado por dos parámetros se puede especificar en su lugar por uno, porque la cardinalidad del plano real es igual a la cardinalidad de la línea real (esto puede verse mediante un argumento que implica entrelazar los dígitos de dos números para producir un solo número que codifica la misma información). El ejemplo de una curva que llena el espacio muestra que incluso se puede mapear la línea real con el plano real de manera sobreyectiva (tomando un número real en un par de números reales de manera que se cubran todos los pares de números) y continuamente , de modo que un objeto unidimensional llena completamente un objeto de dimensiones superiores.
Cada curva de llenado de espacio golpea algunos puntos varias veces y no tiene una inversa continua. Es imposible mapear dos dimensiones en una de una manera que sea continua y continuamente invertible. La dimensión topológica, también llamada dimensión de cobertura de Lebesgue , explica por qué. Esta dimensión es n si, en cada cobertura de X por pequeñas bolas abiertas, hay al menos un punto donde se superponen n + 1 bolas. Por ejemplo, cuando se cubre una línea con breves intervalos abiertos, algunos puntos deben cubrirse dos veces, dando una dimensión n = 1.
Pero la dimensión topológica es una medida muy burda del tamaño local de un espacio (tamaño cerca de un punto). Una curva que casi llena el espacio todavía puede tener una dimensión topológica, incluso si llena la mayor parte del área de una región. Un fractal tiene una dimensión topológica entera, pero en términos de la cantidad de espacio que ocupa, se comporta como un espacio de dimensiones superiores.
La dimensión de Hausdorff mide el tamaño local de un espacio teniendo en cuenta la distancia entre puntos, la métrica . Considere el número N ( r ) de bolas de radio como máximo r requerido para cubrir X completamente. Cuando r es muy pequeño, N ( r ) crece polinomialmente con 1 / r . Para un X que se comporte suficientemente bien , la dimensión de Hausdorff es el número único d tal que N ( r ) crece a medida que 1 / r d cuando r se acerca a cero. Más precisamente, esto define la dimensión de recuento de cajas , que es igual a la dimensión de Hausdorff cuando el valor d es un límite crítico entre las tasas de crecimiento que son insuficientes para cubrir el espacio y las tasas de crecimiento que son sobreabundantes.
Para formas que son lisas, o formas con un pequeño número de esquinas, las formas de la geometría y la ciencia tradicionales, la dimensión de Hausdorff es un número entero que coincide con la dimensión topológica. Pero Benoit Mandelbrot observó que los fractales , conjuntos con dimensiones de Hausdorff no enteras, se encuentran en todas partes en la naturaleza. Observó que la idealización adecuada de la mayoría de las formas ásperas que ves a tu alrededor no es en términos de formas suaves idealizadas, sino en términos de formas fractales idealizadas:
Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza no es suave, ni los rayos viajan en línea recta. [5]
Para los fractales que ocurren en la naturaleza, la dimensión de Hausdorff y el recuento de cajas coinciden. La dimensión de empaque es otra noción similar que da el mismo valor para muchas formas, pero existen excepciones bien documentadas en las que todas estas dimensiones difieren.
Definiciones formales
Contenido de Hausdorff
Sea X un espacio métrico . Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el d -dimensional contenido Hausdorff ilimitado de S se define por
En otras palabras, es el mínimo del conjunto de númerostal que hay alguna colección (indexada) de bolas cubriendo S con r i > 0 para cada i ∈ I que satisfaga. (Aquí usamos la convención estándar de que inf Ø = ∞ .)
Medida de Hausdorff
La medida exterior de Hausdorff es diferente del contenido ilimitado de Hausdorff en que, en lugar de considerar todos los posibles revestimientos de S , vemos lo que sucede cuando los tamaños de las bolas llegan a cero. Para, definimos la medida exterior d -dimensional de Hausdorff de S como
Dimensión de Hausdorff
La dimensión de Hausdorff de X está definida por
De manera equivalente, dim H ( X ) puede definirse como el mínimo del conjunto de d ∈ [0, ∞) de manera que la medida d -dimensional de Hausdorff de X es cero. Esto es lo mismo que el supremo del conjunto de d ∈ [0, ∞) tal que la medida d -dimensional de Hausdorff de X es infinita (excepto que cuando este último conjunto de números d está vacío, la dimensión de Hausdorff es cero).
Ejemplos de
- Los conjuntos contables tienen una dimensión de Hausdorff 0. [6]
- El espacio euclidiano ℝ n tiene una dimensión de Hausdorff n , y el círculo S 1 tiene una dimensión de Hausdorff 1. [6]
- Los fractales a menudo son espacios cuya dimensión de Hausdorff excede estrictamente la dimensión topológica . [5] Por ejemplo, el conjunto de Cantor , un espacio topológico de dimensión cero, es una unión de dos copias de sí mismo, cada copia encogida en un factor de 1/3; por tanto, se puede demostrar que su dimensión de Hausdorff es ln (2) / ln (3) ≈ 0,63. [7] El triángulo de Sierpinski es una unión de tres copias de sí mismo, cada copia encogida por un factor de 1/2; esto produce una dimensión de Hausdorff de ln (3) / ln (2) ≈ 1,58. [1] Estas dimensiones de Hausdorff están relacionadas con el "exponente crítico" del teorema de Master para resolver relaciones de recurrencia en el análisis de algoritmos .
- Las curvas que llenan el espacio como la curva de Peano tienen la misma dimensión de Hausdorff que el espacio que llenan.
- Se conjetura que la trayectoria del movimiento browniano en la dimensión 2 y superior es la dimensión 2 de Hausdorff. [8]
- Lewis Fry Richardson ha realizado experimentos detallados para medir la dimensión de Hausdorff aproximada para varias costas. Sus resultados han variado de 1,02 para la costa de Sudáfrica a 1,25 para la costa oeste de Gran Bretaña . [5]
Propiedades de la dimensión de Hausdorff
Dimensión de Hausdorff y dimensión inductiva
Sea X un espacio métrico separable arbitrario . Existe una noción topológica de dimensión inductiva para X que se define de forma recursiva. Siempre es un número entero (o + ∞) y se denota dim ind ( X ).
Teorema . Suponga que X no está vacío. Luego
Es más,
donde Y se extiende sobre espacios métricos homeomórficos a X . En otras palabras, X y Y tienen el mismo conjunto subyacente de los puntos y la métrica d Y de Y es topológicamente equivalente a d X .
Estos resultados fueron establecidos originalmente por Edward Szpilrajn (1907-1976), por ejemplo, ver Hurewicz y Wallman, Capítulo VII. [ se necesita cita completa ]
Dimensión de Hausdorff y dimensión de Minkowski
La dimensión de Minkowski es similar, y al menos tan grande, como la dimensión de Hausdorff, y son iguales en muchas situaciones. Sin embargo, el conjunto de puntos racionales en [0, 1] tiene dimensión cero de Hausdorff y dimensión uno de Minkowski. También hay conjuntos compactos para los que la dimensión de Minkowski es estrictamente mayor que la dimensión de Hausdorff.
Dimensiones de Hausdorff y medidas de Frostman
Si hay una medida μ definida en subconjuntos de Borel de un espacio métrico X tal que μ ( X )> 0 y μ ( B ( x , r )) ≤ r s se cumple para alguna constante s > 0 y para cada bola B ( x , r ) en X , entonces dim Haus ( X ) ≥ s . El lema de Frostman proporciona una recíproca parcial . [ cita requerida ] [9]
Comportamiento bajo sindicatos y productos
Si es una unión finita o contable, entonces
Esto se puede verificar directamente desde la definición.
Si X e Y son espacios métricos no vacíos, entonces la dimensión de Hausdorff de su producto satisface [10]
Esta desigualdad puede ser estricta. Es posible encontrar dos conjuntos de dimensión 0 cuyo producto tiene dimensión 1. [11] En la dirección opuesta, se sabe que cuando X e Y son subconjuntos de Borel de R n , la dimensión de Hausdorff de X × Y está acotada desde arriba por la dimensión de Hausdorff de X , más la dimensión de embalaje superior de Y . Estos hechos se analizan en Mattila (1995).
Conjuntos auto-similares
Muchos conjuntos definidos por una condición de auto-semejanza tienen dimensiones que pueden determinarse explícitamente. Aproximadamente, un conjunto E es auto-similar si es el punto fijo de una transformación de valores establecidos ψ, es decir ψ ( E ) = E , aunque la definición exacta se da a continuación.
Teorema . Suponer
son mapeos contractivos en R n con constante de contracción r j <1. Entonces hay un conjunto compacto único no vacío A tal que
El teorema se sigue de Stefan Banach 's de contracción punto fijo mapeo teorema aplicada al espacio métrico completo de subconjuntos compactos no vacíos de R n con la distancia Hausdorff . [12]
La condición de conjunto abierto
Para determinar la dimensión del conjunto auto-similar A (en ciertos casos), necesitamos una condición técnica llamada condición de conjunto abierto (OSC) en la secuencia de contracciones ψ i .
Hay un conjunto abierto V relativamente compacto tal que
donde se pone en unión de la izquierda son dos a dos disjuntos .
La condición de conjunto abierto es una condición de separación que asegura que las imágenes ψ i ( V ) no se superpongan "demasiado".
Teorema . Suponga que se cumple la condición de conjunto abierto y que cada ψ i es una similitud, es decir, una composición de una isometría y una dilatación alrededor de algún punto. Entonces, el punto fijo único de ψ es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es s donde s es la solución única de [13]
El coeficiente de contracción de una similitud es la magnitud de la dilatación.
Podemos usar este teorema para calcular la dimensión de Hausdorff del triángulo de Sierpinski (o a veces llamado junta de Sierpinski). Considere tres puntos no colineales a 1 , a 2 , a 3 en el plano R 2 y sea ψ i la dilatación de la razón 1/2 alrededor de a i . El único punto fijo no vacío del mapeo correspondiente ψ es una junta de Sierpinski y la dimensión s es la solución única de
Tomando logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación anterior, podemos resolver s , es decir: s = ln (3) / ln (2). La junta de Sierpinski es auto-similar y cumple con el OSC. En general, un conjunto E que es un punto fijo de un mapeo
es auto-similar si y solo si las intersecciones
donde s es la dimensión de Hausdorff de E y H s denota la medida de Hausdorff . Esto es claro en el caso de la junta de Sierpinski (las intersecciones son solo puntos), pero también es cierto de manera más general:
Teorema . En las mismas condiciones que el teorema anterior, el único punto fijo de ψ es auto-similar.
Ver también
- Lista de fractales por dimensión de Hausdorff Ejemplos de fractales deterministas, fractales aleatorios y naturales.
- Dimensión de Assouad , otra variación de la dimensión fractal que, como la dimensión de Hausdorff, se define mediante recubrimientos por bolas.
- Dimensión intrínseca
- Dimensión de embalaje
- Dimensión fractal
Referencias
- ↑ a b c MacGregor Campbell, 2013, "5.6 Scaling and the Hausdorff Dimension", en Annenberg Learner: MATHematics illuminated , ver [1] , consultado el 5 de marzo de 2015.
- ^ Gneiting, Tilmann; Ševčíková, Hana; Percival, Donald B. (2012). "Estimadores de dimensión fractal: evaluación de la aspereza de series de tiempo y datos espaciales". Ciencia estadística . 27 (2): 247–277. arXiv : 1101.1444 . doi : 10.1214 / 11-STS370 . S2CID 88512325 .
- ^ Larry Riddle, 2014, "Classic Iterated Function Systems: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (en línea), ver [2] , consultado el 5 de marzo de 2015.
- ^ a b Keith Clayton, 1996, "Fractales y la dimensión fractal", Conceptos básicos en dinámica no lineal y caos (taller), Sociedad para la teoría del caos en psicología y la reunión anual de Ciencias de la vida, 28 de junio de 1996, Berkeley, California, ver [3] , consultado el 5 de marzo de 2015.
- ^ a b c Mandelbrot, Benoît (1982). La geometría fractal de la naturaleza . Apuntes de conferencias en matemáticas 1358. WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
- ^ a b Schleicher, Dierk (junio de 2007). "Dimensión de Hausdorff, sus propiedades y sus sorpresas". The American Mathematical Monthly . 114 (6): 509–528. arXiv : matemáticas / 0505099 . doi : 10.1080 / 00029890.2007.11920440 . ISSN 0002-9890 . S2CID 9811750 .
- ^ Falconer, Kenneth (2003). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas (2ª ed.). John Wiley e hijos .
- ^ Morters, Peres (2010). Movimiento browniano . Prensa de la Universidad de Cambridge .
- ^ Este artículo de Wikipedia también analiza otras caracterizaciones útiles de la dimensión de Hausdorff. [ aclaración necesaria ]
- ^ Marstrand, JM (1954). "La dimensión de los conjuntos de productos cartesianos". Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Código Bibliográfico : 1954PCPS ... 50..198M . doi : 10.1017 / S0305004100029236 .
- ^ Falconer, Kenneth J. (2003). Geometría fractal. Fundamentos y aplicaciones matemáticas . John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, Nueva Jersey.
- ^ Falconer, KJ (1985). "Teorema 8.3". La geometría de los conjuntos fractales . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1.
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Otras lecturas
- Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (12 de junio de 2003). "Dimensión de Hausdorff y aproximación diofántica". Geometría fractal y aplicaciones: un jubileo de Benoît Mandelbrot . Actas de simposios en matemáticas puras. 72 . págs. 305–347. arXiv : matemáticas / 0305399 . Bibcode : 2003math ... 5399D . doi : 10.1090 / pspum / 072.1 / 2112110 . ISBN 9780821836378. S2CID 119613948 .
- Hurewicz, Witold ; Wallman, Henry (1948). Teoría de la dimensión . Prensa de la Universidad de Princeton.
- E. Szpilrajn (1937). "La dimension et la mesure". Fundamenta Mathematicae . 28 : 81–9.
- Marstrand, JM (1954). "La dimensión de los conjuntos de productos cartesianos". Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Código Bibliográfico : 1954PCPS ... 50..198M . doi : 10.1017 / S0305004100029236 .
- Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-65595-8.
- AS Besicovitch (1929). "Sobre conjuntos lineales de puntos de dimensiones fraccionarias". Mathematische Annalen . 101 (1): 161-193. doi : 10.1007 / BF01454831 . S2CID 125368661 .
- AS Besicovitch ; HD Ursell (1937). "Conjuntos de dimensiones fraccionarias". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 12 (1): 18-25. doi : 10.1112 / jlms / s1-12.45.18 .
Varias selecciones de este volumen se reimprimen en Edgar, Gerald A. (1993). Clásicos sobre fractales . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-58701-7. Ver capítulos 9,10,11 - F. Hausdorff (marzo de 1919). "Dimension und äußeres Maß" (PDF) . Mathematische Annalen . 79 (1–2): 157–179. doi : 10.1007 / BF01457179 . hdl : 10338.dmlcz / 100363 . S2CID 122001234 .
- Hutchinson, John E. (1981). "Fractales y auto semejanza" . Indiana Univ. Matemáticas. J . 30 (5): 713–747. doi : 10.1512 / iumj.1981.30.30055 .
- Falconer, Kenneth (2003). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas (2ª ed.). John Wiley e hijos .
enlaces externos
- Dimensión de Hausdorff en Encyclopedia of Mathematics
- Medida de Hausdorff en Encyclopedia of Mathematics