En el análisis matemático , el análisis asintótico , también conocido como asintótico , es un método para describir el comportamiento limitante .
Como ilustración, suponga que estamos interesados en las propiedades de una función f ( n ) cuando n se vuelve muy grande. Si f ( n ) = n 2 + 3 n , entonces cuando n se vuelve muy grande, el término 3 n se vuelve insignificante comparado con n 2 . Se dice que la función f ( n ) es " asintóticamente equivalente a n 2 , ya que n → ∞ ". Esto a menudo se escribe simbólicamente como f (n ) ~ n 2 , que se lee como " f ( n ) es asintótica an 2 ".
Un ejemplo de un resultado asintótico importante es el teorema de los números primos . Deje que π ( x ) denote la función de conteo de primos (que no está directamente relacionada con la constante pi ), es decir, π ( x ) es el número de números primos que son menores o iguales que x . Entonces el teorema establece que
El símbolo ~ es la tilde . La relación es una relación de equivalencia en el conjunto de funciones de x ; las funciones f y g se dice que son asintóticamente equivalente . El dominio de f y g puede ser cualquier conjunto para el que se define el límite: números reales por ejemplo, números complejos, números enteros positivos.
La misma notación también se utiliza para otras formas de pasar a un límite: por ejemplo, x → 0 , x ↓ 0 , | x | → 0 . La forma de pasar al límite a menudo no se establece explícitamente, si se desprende del contexto.
Aunque la definición anterior es común en la literatura, es problemática si g ( x ) es cero infinitamente a menudo cuando x llega al valor límite. Por eso, algunos autores utilizan una definición alternativa. La definición alternativa, en notación pequeña-o , es que f ~ g si y solo si