valor de Shapley

El valor de Shapley es un concepto de solución en la teoría de juegos cooperativos . Fue nombrado en honor a Lloyd Shapley , quien lo introdujo en 1951 y ganó el Premio Nobel de Economía por él en 2012. ^{[1] [2]} A cada juego cooperativo asigna una distribución única (entre los jugadores) de un excedente total generada por la coalición de todos los jugadores. El valor de Shapley se caracteriza por una colección de propiedades deseables. Hart (1989) ofrece un estudio del tema. ^{[3] [4]}

La configuración es la siguiente: una coalición de jugadores coopera y obtiene una cierta ganancia general de esa cooperación. Dado que algunos jugadores pueden contribuir más que otros a la coalición o pueden tener un poder de negociación diferente (por ejemplo, amenazando con destruir todo el excedente), ¿qué distribución final del excedente generado entre los jugadores debería surgir en cualquier juego en particular? O expresado de otra manera: ¿qué importancia tiene cada jugador para la cooperación general y qué recompensa puede esperar razonablemente? El valor de Shapley proporciona una posible respuesta a esta pregunta.

Para los juegos de costos compartidos con funciones de costos cóncavas, la regla óptima de costos compartidos que optimiza el precio de la anarquía , seguida por el precio de la estabilidad , es precisamente la regla de costos compartidos del valor de Shapley. ^[5] (Una declaración simétrica es igualmente válida para juegos de utilidad compartida con funciones de utilidad convexas). En el diseño de mecanismos , esto significa que el concepto de solución de valor de Shapley es óptimo para estos conjuntos de juegos.

Formalmente, un juego de coalición se define como: Hay un conjunto N (de n jugadores) y una función que asigna subconjuntos de jugadores a los números reales: , con , donde denota el conjunto vacío. La función se llama función característica.${\ estilo de visualización v}$${\displaystyle v\colon 2^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v(\emptyset)=0}$${\ estilo de visualización \ conjunto vacío}$${\ estilo de visualización v}$

La función tiene el siguiente significado: si S es una coalición de jugadores, entonces ( S ), llamado el valor de la coalición S , describe la suma total esperada de pagos que los miembros de pueden obtener mediante la cooperación.${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización S}$

El valor de Shapley es una forma de distribuir las ganancias totales a los jugadores, asumiendo que todos colaboran. Es una distribución "justa" en el sentido de que es la única distribución con ciertas propiedades deseables que se enumeran a continuación. Según el valor de Shapley, ^[6] la cantidad que recibe el jugador i en un juego de coalición es${\ estilo de visualización (v, N)}$

Lloyd Shapley en 2012