Descomposición de un módulo

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En álgebra abstracta, una descomposición de un módulo es una forma de escribir un módulo como una suma directa de módulos . Un tipo de descomposición se usa a menudo para definir o caracterizar módulos: por ejemplo, un módulo semisimple es un módulo que tiene una descomposición en módulos simples. Dado un anillo, los tipos de descomposición de los módulos sobre el anillo también se pueden utilizar para definir o caracterizar el anillo: un anillo es semisimple si y solo si cada módulo sobre él es un módulo semisimple.

Un módulo indecomponible es un módulo que no es una suma directa de dos submódulos distintos de cero. El teorema de Azumaya establece que si un módulo tiene una descomposición en módulos con anillos de endomorfismo local, entonces todas las descomposiciones en módulos indecomponibles son equivalentes entre sí; un caso especial de esto, especialmente en la teoría de grupos, se conoce como el teorema de Krull-Schmidt .

Un caso especial de descomposición de un módulo es la descomposición de un anillo: por ejemplo, un anillo es semisimple si y solo si es una suma directa (de hecho, un producto) de anillos de matriz sobre anillos de división (esta observación se conoce como el teorema de Artin-Wedderburn ).

Dar una descomposición de suma directa de un módulo en submódulos es lo mismo que dar idempotentes ortogonales en el anillo de endomorfismo del módulo que suman el mapa de identidad. ^[1] De hecho, si , entonces, para cada uno , el endomorfismo lineal dado por la proyección natural seguida por la inclusión natural es un idempotente. Son claramente ortogonales entre sí ( para ) y resumen:${\ textstyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}}$${\ Displaystyle i \ in I}$${\ Displaystyle e_ {i}: M \ a M_ {i} \ hookrightarrow M}$${\ Displaystyle e_ {i} e_ {j} = 0}$${\ Displaystyle i \ neq j}$

como endomorfismos (aquí la suma está bien definida ya que es una suma finita en cada elemento del módulo). Por el contrario, cada conjunto de idempotentes ortogonales de tal manera que sólo un número finito es distinto de cero para cada uno y determina una descomposición de suma directa tomando como imágenes de .${\ Displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle e_ {i} (x)}$${\ Displaystyle x \ in M}$$\ sum e_ {i} = 1_ {M}$${\ Displaystyle M_ {i}}$${\ Displaystyle e_ {i}}$

Este hecho ya impone algunas restricciones a una posible descomposición de un anillo: dar un anillo , suponga que hay una descomposición${\ Displaystyle R}$

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