En matemáticas , el teorema de Krull-Schmidt establece que un grupo sujeto a ciertas condiciones de finitud en cadenas de subgrupos , puede escribirse de forma única como un producto directo finito de subgrupos indecomponibles.
Definiciones
Decimos que un grupo G satisface la condición de cadena ascendente (ACC) en subgrupos si cada secuencia de subgrupos de G :
es eventualmente constante, es decir, existe N tal que G N = G N +1 = G N +2 = .... Decimos que G satisface el ACC en subgrupos normales si cada secuencia de subgrupos normales de G eventualmente se vuelve constante.
Asimismo, se puede definir la condición de cadena descendente en subgrupos (normales), observando todas las secuencias decrecientes de subgrupos (normales):
Claramente, todos los grupos finitos satisfacen tanto ACC como DCC en subgrupos. El grupo cíclico infinito satisface ACC pero no DCC, ya que (2)> (2) 2 > (2) 3 > ... es una secuencia decreciente infinita de subgrupos. Por otro lado, el-Torsión parte de (el grupo p cuasicíclico ) satisface DCC pero no ACC.
Decimos un grupo G es indescomponible si no se puede escribir como un producto directo de subgrupos no triviales G = H × K .
Declaración
Si es un grupo que satisface ACC o DCC en subgrupos normales, entonces hay una forma única de escribir como producto directo de un número finito de subgrupos indecomponibles de . Aquí, la unicidad significa que las descomposiciones directas en subgrupos indecomponibles tienen la propiedad de intercambio. Eso es: suponga es otra expresión de como producto de subgrupos indecomponibles. Luego y hay una nueva indexación de la es satisfactorio
- y son isomorfos para cada uno ;
- para cada .
Prueba
Probar la existencia es relativamente sencillo: sea S el conjunto de todos los subgrupos normales que no pueden escribirse como un producto de subgrupos indecomponibles. Además, cualquier subgrupo indecomponible es (trivialmente) el producto directo de un término de sí mismo, por lo tanto, se puede descomponer. Si Krull-Schmidt falla, entonces S contiene G ; entonces podemos construir iterativamente una serie descendente de factores directos; esto contradice el DCC. Luego, se puede invertir la construcción para mostrar que todos los factores directos de G aparecen de esta manera. [1]
La prueba de unicidad, por otro lado, es bastante larga y requiere una secuencia de lemas técnicos. Para una exposición completa, vea. [2]
Observación
El teorema no afirma la existencia de una descomposición no trivial , sino simplemente que cualquiera de esas dos descomposiciones (si existen) son iguales.
Teorema de Krull-Schmidt para módulos
Si es un módulo que satisface el ACC y DCC en submódulos (es decir, es tanto Noetherian como Artinian o, de manera equivalente, de longitud finita ), entonceses una suma directa de módulos indecomponibles . Hasta una permutación, los componentes indecomponibles en una suma tan directa se determinan unívocamente hasta el isomorfismo. [3]
En general, el teorema falla si solo se supone que el módulo es Noetheriano o Artiniano. [4]
Historia
El teorema de Krull-Schmidt actual fue probado por primera vez por Joseph Wedderburn ( Ann. Of Math (1909)), para grupos finitos, aunque menciona que parte del crédito se debe a un estudio anterior de GA Miller donde se consideraron productos directos de grupos abelianos. . El teorema de Wedderburn se establece como una propiedad de intercambio entre descomposiciones directas de longitud máxima. Sin embargo, la prueba de Wedderburn no utiliza automorfismos.
La tesis de Robert Remak (1911) obtuvo el mismo resultado de unicidad que Wedderburn pero también demostró (en terminología moderna) que el grupo de automorfismos centrales actúa transitivamente sobre el conjunto de descomposiciones directas de longitud máxima de un grupo finito. A partir de ese teorema más fuerte, Remak también demostró varios corolarios, incluido que los grupos con un centro trivial y los grupos perfectos tienen una descomposición de Remak única .
Otto Schmidt ( Sur les produits directs, SMF Bull. 41 (1913), 161-164), simplificó los principales teoremas de Remak al predecesor de 3 páginas de las demostraciones actuales de los libros de texto. Su método mejora el uso de idempotentes de Remak para crear los automorfismos centrales apropiados. Tanto Remak como Schmidt publicaron posteriores demostraciones y corolarios de sus teoremas.
Wolfgang Krull ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, MZ 23 (1925) 161-196), volvió al problema original de GA Miller de productos directos de grupos abelianos extendiéndose a grupos de operadores abelianos con condiciones de cadena ascendente y descendente. Esto se expresa con mayor frecuencia en el lenguaje de los módulos. Su prueba observa que los idempotentes usados en las pruebas de Remak y Schmidt pueden restringirse a homomorfismos modulares; los detalles restantes de la prueba se mantienen prácticamente sin cambios.
O. Ore unificó las pruebas de varias categorías que incluyen grupos finitos, grupos de operadores abelianos, anillos y álgebras al demostrar que el teorema de intercambio de Wedderburn se cumple para celosías modulares con condiciones de cadena descendente y ascendente. Esta demostración no hace uso de idempotentes y no reprueba la transitividad de los teoremas de Remak.
De Kurosh la teoría de grupos y Zassenhaus' la teoría de grupos incluyen las pruebas de Schmidt y mineral bajo el nombre de Remak-Schmidt, pero reconocen Wedderburn y mineral. Los textos posteriores utilizan el título Krull-Schmidt ( Hungerford 's Álgebra) y Krull-Schmidt - Azumaya (Curtis – Reiner). El nombre Krull-Schmidt ahora se sustituye popularmente por cualquier teorema relativo a la unicidad de los productos directos de tamaño máximo. Algunos autores optan por llamar descomposiciones directas de descomposiciones de Remak de tamaño máximo para honrar sus contribuciones.
Ver también
Referencias
- ^ Thomas W. Hungerford (6 de diciembre de 2012). Álgebra . Springer Science & Business Media. pag. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8.
- ^ Hungerford 2012, p. 86-8.
- ^ Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . 2 (2ª ed.). Dover. pag. 115. ISBN 978-0-486-47187-7.
- ^ Facchini, Alberto; Herbera, Dolors; Levy, Lawrence S .; Vámos, Peter (1 de diciembre de 1995). "Krull-Schmidt falla para módulos Artinian" . Actas de la American Mathematical Society . 123 (12): 3587–3587. doi : 10.1090 / S0002-9939-1995-1277109-4 .
Otras lecturas
- A. Facchini: teoría de módulos. Anillos de endomorfismo y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos. Progress in Mathematics, 167. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1998. ISBN 3-7643-5908-0
- CM Ringel: Krull – Remak – Schmidt falla para los módulos Artinian sobre los anillos locales. Algebr. Representar. Teoría 4 (2001), no. 1, 77–86.