En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que se puede entender fácilmente a partir de sus partes. Un anillo que es un módulo semisimple sobre sí mismo se conoce como anillo semisimple Artiniano . Algunos anillos importantes, como los anillos de grupo de grupos finitos sobre campos de característica cero, son anillos semisimple. Un anillo artiniano se entiende inicialmente a través de su mayor cociente semisimple. La estructura de los anillos semisimple Artinianos es bien conocida por losTeorema de Artin-Wedderburn , que presenta estos anillos como productos directos finitos de los anillos de la matriz .
Para un análogo de la teoría de grupos de la misma noción, consulte Representación semisimple .
Definición
Se dice que un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) es semisimple (o completamente reducible ) si es la suma directa de submódulos simples (irreductibles).
Para un módulo M , los siguientes son equivalentes:
- M es semisimple; es decir, una suma directa de módulos irreductibles.
- M es la suma de sus submódulos irreductibles.
- Cada submódulo de M es un sumando directo : para cada submódulo N de M , hay un complemento P tal que M = N ⊕ P .
Para la prueba de equivalencias, ver Representación semisimple § Caracterizaciones equivalentes .
El ejemplo más básico de un módulo semisimple es un módulo sobre un campo, es decir, un espacio vectorial . Por otro lado, el anillo Z de enteros no es un módulo semisimple sobre sí mismo, ya que el submódulo 2 Z no es un sumando directo.
Semisimple es más fuerte que completamente descomponible , que es una suma directa de submódulos indecomponibles .
Deje A sea un álgebra sobre un campo K . A continuación, un módulo izquierdo M sobre A se dice que es absolutamente semisimple si, por cualquier extensión de campo F de K , F ⊗ K M es un módulo semisimple sobre F ⊗ K A .
Propiedades
- Si M es semisimple y N es un submódulo , entonces N y M / N también son semisimple.
- Una suma directa arbitraria de módulos semisimplejos es semisimple.
- Un módulo M se genera de forma finita y semisimple si y solo si es artiniano y su radical es cero.
Anillos de endomorfismo
- Un módulo semisimple M sobre un anillo R también puede ser pensado como un homomorfismo de anillo de R en el anillo del grupo abeliano endomorfismos de M . La imagen de este homomorfismo es un anillo semiprimitivo , y todo anillo semiprimitivo es isomorfo a tal imagen.
- El anillo de endomorfismo de un módulo semisimple no solo es semiprimitivo, sino también regular de von Neumann ( Lam 2001 , p. 62).
Anillos semisimple
Se dice que un anillo es (izquierda): semisimple si es semisimple como un módulo izquierdo sobre sí mismo. [1] Sorprendentemente, un anillo semisimple a la izquierda también es semisimple a la derecha y viceversa. Por tanto, la distinción izquierda / derecha es innecesaria y se puede hablar de anillos semisimple sin ambigüedad.
Un anillo semisimple puede caracterizarse en términos de álgebra homológica: es decir, un anillo R es semisimple si y solo si se divide una secuencia corta exacta de módulos R izquierdos (o derechos) . Eso es para una breve secuencia exacta
existe s : C → B tal que la composición g ∘ s : C → C es la identidad. El mapa s se conoce como sección. De esto se sigue que
o en términos más exactos
En particular, cualquier módulo sobre un anillo semisimple es inyectivo y proyectivo . Dado que "proyectivo" implica "plano", un anillo semisimple es un anillo regular de von Neumann .
Los anillos semisimple son de particular interés para los algebristas. Por ejemplo, si el anillo base R es semisimple, todos los módulos R serán automáticamente semisimple. Además, cada módulo R simple (izquierda) es isomorfo a un ideal mínimo izquierdo de R , es decir, R es un anillo de Kasch izquierdo .
Los anillos semisimple son tanto artinianos como noetherianos . De las propiedades anteriores, un anillo es semisimple si y solo si es Artinian y su radical de Jacobson es cero.
Si un anillo semisimple artiniano contiene un campo como subanillo central , se denomina álgebra semisimple .
Ejemplos de
- Un anillo semisimple conmutativo es un producto directo finito de campos. Un anillo conmutativo es semisimple si y solo si es artiniano y reducido . [2]
- Si K es un campo y G es un grupo finito de orden n , entonces el anillo de grupo K [ G ] es semisimple si y solo si la característica de K no divide n . Este es el teorema de Maschke , un resultado importante en la teoría de la representación de grupos .
- Según el teorema de Artin-Wedderburn , un anillo de Artiniano unital R es semisimple si y solo si es (isomorfo a) M n 1 ( D 1 ) × M n 2 ( D 2 ) × ... × M n r ( D r ) , donde cada D i es un anillo de división y cada n i es un entero positivo, y M n ( D ) indica el anillo de n -by- n matrices con entradas en D .
- Un ejemplo de un anillo semisimple no unital es M ∞ ( K ), la fila-finito, columna-finito, infinitas matrices sobre un campo K .
Anillos simples
Hay que tener en cuenta que, a pesar de la terminología, no todos los anillos simples son semisimples . El problema es que el anillo puede ser "demasiado grande", es decir, no Artiniano (izquierda / derecha). De hecho, si R es un anillo simple con un ideal mínimo de izquierda / derecha, entonces R es semisimple.
Ejemplos clásicos de anillos simples, pero no semisimplejos, son las álgebras de Weyl , como las-álgebra
que es un dominio no conmutativo simple . Estos y muchos otros buenos ejemplos se discuten con más detalle en varios textos de teoría de anillos no conmutativos, incluido el capítulo 3 del texto de Lam, en el que se describen como anillos simples no artinianos. La teoría del módulo para las álgebras de Weyl está bien estudiada y difiere significativamente de la de los anillos semisimple.
Jacobson semisimple
Un anillo se llama Jacobson semisimple (o J-semisimple o semiprimitive ) si la intersección de los ideales izquierdos máximos es cero, es decir, si el radical de Jacobson es cero. Cada anillo que es semisimple como un módulo sobre sí mismo tiene cero radicales Jacobson, pero no todos los anillos con cero radicales Jacobson son semisimple como un módulo sobre sí mismo. Un anillo semisimple J es semisimple si y solo si es un anillo artiniano , por lo que los anillos semisimple a menudo se denominan anillos semisimple artinianos para evitar confusiones.
Por ejemplo, el anillo de números enteros, Z , es J-semisimple, pero no semisimple artiniano.
Ver también
- Zócalo
- Álgebra semimple
Referencias
Notas
- ↑ ( Sengupta , 2012 , p. 125)
- ↑ Bourbaki , VIII, pág. 133.
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
- Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2a ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
- Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso en anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas , 131 (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN 978-0-387-95325-0, Señor 1838439
- Lang, Serge (2002), Álgebra (3.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
- Pierce, RS (1982), Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4757-0165-4
- Sengupta, Ambar (2012). Representación de grupos finitos: una introducción semisimple . Nueva York. doi : 10.1007 / 978-1-4614-1231-1_8 . ISBN 9781461412311. OCLC 769756134 .