Suma directa de módulos

Para un uso más amplio del término en matemáticas, consulte Suma directa .

En álgebra abstracta , la suma directa es una construcción que combina varios módulos en un módulo nuevo y más grande. La suma directa de módulos es el módulo más pequeño que contiene los módulos dados como submódulos sin restricciones "innecesarias", lo que lo convierte en un ejemplo de un coproducto . Contraste con el producto directo , que es la noción dual .

Los ejemplos más familiares de esta construcción ocurren cuando se consideran espacios vectoriales (módulos sobre un campo ) y grupos abelianos (módulos sobre el anillo Z de números enteros ). La construcción también puede extenderse para cubrir los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .

Construcción de espacios vectoriales y grupos abelianos

Damos la construcción primero en estos dos casos, bajo el supuesto de que solo tenemos dos objetos. Luego generalizamos a una familia arbitraria de módulos arbitrarios. Los elementos clave de la construcción general se identifican más claramente al considerar estos dos casos en profundidad.

Construcción de dos espacios vectoriales

Supongamos que V y W son espacios vectoriales sobre el campo K . Al producto cartesiano V × W se le puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre K ( Halmos 1974 , §18) definiendo las operaciones por componentes:

• ( v ₁ , w ₁ ) + ( v ₂ , w ₂ ) = ( v ₁ + v ₂ , w ₁ + w ₂ )
• α ( v , w ) = ( α v , α w )

para v , v ₁ , v ₂ ∈ V , w , w ₁ , w ₂ ∈ W , y alpha ∈ K .

El espacio vectorial resultante se llama suma directa de V y W y generalmente se denota con un símbolo más dentro de un círculo:

${\displaystyle V\oplus W}$

Se acostumbra escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( v , w ), sino como una suma v + w .

El subespacio V × {0} de V ⊕ W es isomorfo a V y a menudo se identifica con V ; de manera similar para {0} x W y W . (Ver suma directa interna por debajo). Con esta identificación, cada elemento de V ⊕ W puede ser escrita en una y sólo una forma como la suma de un elemento de V y un elemento de W . La dimensión de V ⊕ W es igual a la suma de las dimensiones de V y W. Un uso elemental es la reconstrucción de un espacio vectorial finito a partir de cualquier subespacio W y su complemento ortogonal:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}$

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de espacios vectoriales.

Construcción para dos grupos abelianos

Para los grupos abelianos G y H que se escriben de forma aditiva, el producto directo de G y H también se denomina suma directa ( Mac Lane y Birkhoff 1999 , §V.6). Así, el producto cartesiano G × H está equipado con la estructura de un grupo abeliano definiendo las operaciones por componentes:

• ( sol ₁ , h ₁ ) + ( sol ₂ , h ₂ ) = ( sol ₁ + sol ₂ , h ₁ + h ₂ )

para g ₁ , g ₂ en G , y h ₁ , h ₂ en H .

Los múltiplos integrales se definen de manera similar en componentes por

• n ( g , h ) = ( ng , nh )

para g en G , h en H y n un número entero . Esto es paralelo a la extensión del producto escalar de los espacios vectoriales a la suma directa anterior.

El grupo abeliano resultante se llama suma directa de G y H y generalmente se denota con un símbolo más dentro de un círculo:

${\displaystyle G\oplus H}$

Es habitual escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( g , h ), sino como una suma g + h .

El subgrupo G × {0} de G ⊕ H es isomorfo a G y a menudo se identifica con G ; de manera similar para {0} x H y H . (Véase la suma directa interna por debajo). Con esta identificación, es cierto que cada elemento de G ⊕ H se puede escribir en una y sólo una forma como la suma de un elemento de G y un elemento de H . El rango de G ⊕ H es igual a la suma de los rangos de G y H .

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de grupos abelianos.

Construcción para una familia arbitraria de módulos

Se debe notar una clara similitud entre las definiciones de la suma directa de dos espacios vectoriales y de dos grupos abelianos. De hecho, cada uno es un caso especial de la construcción de la suma directa de dos módulos . Además, modificando la definición se puede acomodar la suma directa de una familia infinita de módulos. La definición precisa es la siguiente ( Bourbaki 1989 , §II.1.6).

Deje que R sea un anillo, y { M _i  :  i  ∈  I } una familia de izquierda R -modules indexada por el conjunto I . La suma directa de { M _i } se define entonces como el conjunto de todas las secuencias donde y para cofinitivamente muchos índices i . (El producto directo es análogo, pero no es necesario que los índices se desvanezcan simultáneamente).${\displaystyle (\alpha _{i})}$${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}=0}$

También se puede definir como funciones α de I a la unión disjunta de los módulos M _i tal que α ( i ) ∈  M _i para todo i ∈ I y α ( i ) = 0 para cofinitivamente muchos índices i . Estas funciones equivalentemente pueden ser considerados como compatibles finitamente secciones del haz de fibras sobre el índice de conjuntos I , con la fibra sobre ser .${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle M_{i}}$

Este conjunto hereda la estructura del módulo mediante la suma de componentes y la multiplicación escalar. Explícitamente, dos de tales secuencias (o funciones) α y β se pueden sumar escribiendo para todo i (tenga en cuenta que esto es nuevamente cero para todos, pero para un número finito de índices), y tal función puede multiplicarse con un elemento r de R definiendo por todo i . De esta manera, la suma directa se convierte en un módulo R izquierdo , y se denota${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$

Se acostumbra escribir la secuencia como una suma . A veces, se usa una suma con prima para indicar que muchos de los términos son simultáneamente cero.${\displaystyle (\alpha _{i})}$${\displaystyle \Sigma \alpha _{i}}$${\displaystyle \Sigma '\alpha _{i}}$

Propiedades

• La suma directa es un submódulo del producto directo de los módulos M _i ( Bourbaki 1989 , §II.1.7). El producto directo es el conjunto de todas las funciones α desde I hasta la unión disjunta de los módulos M _i con α ( i ) ∈ M _i , pero no necesariamente desapareciendo para todos, sino para un número finito de i . Si el conjunto de índices I es finito, entonces la suma directa y el producto directo son iguales.
• Cada uno de los módulos M _i puede identificarse con el submódulo de la suma directa que consiste en aquellas funciones que desaparecen en todos los índices distintos de i . Con estas identificaciones, cada elemento x de la suma directa puede escribirse de una y sólo una forma como una suma de un número finito de elementos de los módulos M _i .
• Si M _i son en realidad espacios vectoriales, entonces la dimensión de la suma directa es igual a la suma de las dimensiones de M _i . Lo mismo ocurre con el rango de los grupos abelianos y la longitud de los módulos .
• Cada espacio vectorial sobre el campo K es isomorfo a una suma directa de suficientes copias de K , por lo que, en cierto sentido, solo deben considerarse estas sumas directas. Esto no es cierto para módulos sobre anillos arbitrarios.
• El producto tensorial se distribuye sobre sumas directas en el siguiente sentido: si N es un módulo R derecho , entonces la suma directa de los productos tensoriales de N con M _i (que son grupos abelianos) es naturalmente isomórfica al producto tensorial de N con la suma directa de M _i .
• Las sumas directas son conmutativas y asociativas (hasta el isomorfismo), lo que significa que no importa en qué orden se forma la suma directa.
• El grupo abeliano de R - homomorfismos lineales de la suma directa a algún módulo R izquierdo L es naturalmente isomorfo al producto directo de los grupos abelianos de R - homomorfismos lineales de M _i a L :

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}$

  De hecho, hay claramente un homomorfismo τ del lado izquierdo al lado derecho, donde τ ( θ ) ( i ) es el homomorfismo lineal R que envía x ∈ M _i a θ ( x ) (usando la inclusión natural de M _i en la suma directa). La inversa del homomorfismo τ se define por

  ${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}$

  para cualquier α en la suma directa de los módulos M _i . El punto clave es que la definición de τ ⁻¹ tiene sentido porque α ( i ) es cero para todos menos para un número finito de i , por lo que la suma es finita.

  En particular, el espacio vectorial dual de una suma directa de espacios vectoriales es isomorfo al producto directo de los duales de esos espacios.

• La suma directa finita de módulos es un biproducto : Si

  ${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$

  son los mapeos de proyección canónicos y

  ${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$

  son las asignaciones de inclusión, entonces

  ${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$

  es igual al morfismo de identidad de A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _n , y

  ${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$

  es el morfismo de identidad de A _k en el caso l = k , y es el mapa cero en caso contrario.

Suma directa interna

Ver también: Producto directo interno

Supongamos que M es un poco de R -módulo, y M _i es un submódulo de M para cada i en I . Si cada x en M puede escribirse de una y sólo una forma como una suma de un número finito de elementos de M _i , entonces decimos que M es la suma directa interna de los submódulos M _i ( Halmos 1974 , § 18). En este caso, M es naturalmente isomorfo a la suma directa (externa) de M _i como se define arriba (Adamson 1972 , página 61) . harv error: no target: CITEREFAdamson1972 (help)

Un submódulo N de M es una suma directa de M si existe algún otro submódulo N ′ de M tal que M es la suma directa interna de N y N ′ . En este caso, N y N ′ son submódulos complementarios .

Propiedad universal

En el lenguaje de la teoría de categorías , la suma directa es un coproducto y, por lo tanto, un colimit en la categoría de módulos R izquierdos, lo que significa que se caracteriza por la siguiente propiedad universal . Por cada yo en yo , considere la incrustación natural

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

que envía los elementos de M _i a aquellas funciones que son cero para todos los argumentos excepto i . Si f _i  : M _i → M son mapas lineales R arbitrarios para cada i , entonces existe precisamente un mapa lineal R

${\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}$

tal que f o j _i = f _i para todo i .

Grupo Grothendieck

La suma directa le da a una colección de objetos la estructura de un monoide conmutativo , ya que la suma de objetos está definida, pero no la resta. De hecho, se puede definir la resta y cada monoide conmutativo se puede extender a un grupo abeliano . Esta extensión se conoce como el grupo Grothendieck . La extensión se realiza definiendo clases de equivalencia de pares de objetos, lo que permite que ciertos pares sean tratados como inversos. La construcción, detallada en el artículo sobre el grupo Grothendieck, es "universal", en el sentido de que tiene la propiedad universal de ser única y homomórfica a cualquier otra incrustación de un monoide conmutativo en un grupo abeliano.

Suma directa de módulos con estructura adicional

Si los módulos que estamos considerando tienen alguna estructura adicional (por ejemplo, una norma o un producto interno ), entonces la suma directa de los módulos a menudo también se puede hacer para llevar esta estructura adicional. En este caso, obtenemos el coproducto en la categoría apropiada de todos los objetos que llevan la estructura adicional. Dos ejemplos destacados ocurren para los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .

En algunos textos clásicos, también se introduce la noción de suma directa de álgebras sobre un campo . Esta construcción, sin embargo, no proporciona un coproducto en la categoría de álgebras, sino un producto directo ( ver nota a continuación y el comentario sobre sumas directas de anillos ).

Suma directa de álgebras

Una suma directa de álgebras X e Y es la suma directa como espacios vectoriales, con el producto

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

Considere estos ejemplos clásicos:

${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$es el anillo isomorfo a los números complejos divididos , también se utiliza en el análisis de intervalo .

${\displaystyle \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} }$es el álgebra de tessarines introducido por James Cockle en 1848.

${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$, llamado los biquaternions divididos , fue introducido por William Kingdon Clifford en 1873.

Joseph Wedderburn aprovechó el concepto de suma directa de álgebras en su clasificación de números hipercomplejos . Véanse sus Lectures on Matrices (1934), página 151. Wedderburn aclara la distinción entre una suma directa y un producto directo de álgebras: para la suma directa, el campo de escalares actúa conjuntamente en ambas partes: mientras que para el producto directo un factor escalar puede ser recogida alternativamente con las partes, pero no ambos: . Ian R. Porteous usa las tres sumas directas anteriores, denotándolas , como anillos de escalares en su análisis de Clifford Algebras and the Classical Groups (1995).${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y)\!}$${\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H}$

La construcción descrita anteriormente, así como el uso de Wedderburn de los términos suma directa y producto directo, siguen una convención diferente a la de la teoría de categorías . En términos categóricos, la suma directa de Wedderburn es un producto categórico , mientras que el producto directo de Wedderburn es un coproducto (o suma categórica) , que (para las álgebras conmutativas) en realidad corresponde al producto tensorial de las álgebras .

Álgebras de composición

Artículo principal: Álgebra de composición

Un álgebra de composición ( A , *, n ) es un álgebra sobre un campo A , una involución * y una "norma" n ( x ) = xx *. Cualquier campo K da lugar a una serie de álgebras de composición que comienzan con K , y la involución trivial, de modo que n ( x ) = x ² . El paso inductivo en la serie implica formar la suma directa A ⊕ A y usar la nueva involución${\displaystyle (x,y)^{*}=x^{*}-y.}$

Leonard Dickson desarrolló esta construcción doblando cuaterniones para números de Cayley , y el método de duplicación que involucra la suma directa A ⊕ A se llama construcción Cayley-Dickson . En el caso que comienza con K = ℝ, la serie genera números complejos , cuaterniones, octoniones y sedeniones . Comenzando con K = ℂ y la norma n ( z ) = z ² , la serie continúa con números bicomplejos , biquaternions y bioctonions .

Max Zorn se dio cuenta de que la construcción clásica de Cayley-Dickson omitía construir algunas álgebras de composición que surgen como subálgebras reales en la serie (ℂ, z ² ), en particular las octoniones divididas . Una construcción de Cayley-Dickson modificado , aún basado en el uso de la suma directa A ⊕ A de una base álgebra A , ha sido utilizado desde entonces para exhibir las series ℝ, números de división-complejo , split cuaterniones , y split octoniones.

Suma directa de espacios de Banach

La suma directa de dos espacios de Banach X e Y es la suma directa de X e Y considerados como espacios vectoriales, con la norma || ( x , y ) || = || x || _X + || y || _Y para todos x en X y Y en Y .

Generalmente, si X _i es una colección de espacios de Banach, donde i atraviesa el conjunto de índices I , entonces la suma directa ⨁ _{i ∈ I}  X _i es un módulo que consta de todas las funciones x definidas sobre I tales que x ( i ) ∈ X _i por todo yo ∈ yo y

${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}$

La norma viene dada por la suma anterior. La suma directa con esta norma es nuevamente un espacio de Banach.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices I = N y X _i = R , entonces la suma directa ⨁ _{i ∈ N} X _i es el espacio l ₁ , que consta de todas las secuencias ( a _i ) de reales con norma finita | | a || = ∑ _yo  | a _i |.

Un subespacio cerrado A de un espacio de Banach X se complementa si hay otro subespacio cerrado B de X tal que X es igual a la suma directa interna . Tenga en cuenta que no todos los subespacios cerrados se complementan, por ejemplo, c 0 no se complementa en .${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Suma directa de módulos con formas bilineales

Sea {( M _i , b _i ):  i  ∈  I } una familia indexada por I de módulos equipados con formas bilineales . La suma directa ortogonal es la suma directa del módulo con la forma bilineal B definida por ^[1]

${\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)}$

en el que la suma tiene sentido incluso para conjuntos de índices infinitos I porque solo un número finito de los términos son distintos de cero.

Suma directa de espacios de Hilbert

Más información: kernel positivo-definido § Conexión con la reproducción de espacios de Hilbert del kernel y mapas de características

Si se dan un número finito de espacios de Hilbert H ₁ , ..., H _n , se puede construir su suma directa ortogonal como se indicó anteriormente (ya que son espacios vectoriales), definiendo el producto interno como:

${\displaystyle \langle (x_{1},...,x_{n}),(y_{1},...,y_{n})\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +...+\langle x_{n},y_{n}\rangle .}$

La suma directa resultante es un espacio de Hilbert que contiene los espacios de Hilbert dados como subespacios mutuamente ortogonales .

Si se dan infinitos espacios de Hilbert H _i para i en I , podemos realizar la misma construcción; observe que al definir el producto interno, solo un número finito de sumandos será distinto de cero. Sin embargo, el resultado será solo un espacio de producto interno y no necesariamente estará completo . Luego definimos la suma directa de los espacios de Hilbert H _i como la finalización de este espacio de producto interno.

Alternativamente y de manera equivalente, se puede definir la suma directa de los espacios de Hilbert H _i como el espacio de todas las funciones α con dominio I , de manera que α ( i ) es un elemento de H _i para cada i en I y:

${\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}$

El producto interno de dos de tales funciones α y β se define entonces como:

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}$

Este espacio está completo y obtenemos un espacio de Hilbert.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices I = N y X _i = R , entonces la suma directa ⨁ _{i ∈ N} X _i es el espacio l ₂ , que consta de todas las secuencias ( a _i ) de reales con norma finita . Comparando esto con el ejemplo de los espacios de Banach, vemos que la suma directa del espacio de Banach y la suma directa del espacio de Hilbert no son necesariamente iguales. Pero si solo hay un número finito de sumandos, entonces la suma directa del espacio de Banach es isomórfica a la suma directa del espacio de Hilbert, aunque la norma será diferente.${\textstyle \left\|a\right\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}}$

Cada espacio de Hilbert es isomorfo a una suma directa de suficientes copias del campo base (ya sea R o C ). Esto es equivalente a la afirmación de que cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal. De manera más general, todo subespacio cerrado de un espacio de Hilbert se complementa: admite un complemento ortogonal . Por el contrario, el teorema de Lindenstrauss-Tzafriri afirma que si cada subespacio cerrado de un espacio de Banach se complementa, entonces el espacio de Banach es isomorfo (topológicamente) a un espacio de Hilbert.

Ver también

• Biproducto
• Módulo indecomponible
• Teorema de Jordan-Hölder
• Teorema de Krull-Schmidt
• Secuencia exacta dividida

Referencias

1. Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . págs. 4-5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016 .

• Iain T. Adamson (1972), Anillos y módulos elementales , Textos matemáticos universitarios, Oliver y Boyd, ISBN 0-05-002192-3
• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (1991), Álgebra abstracta , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
• Halmos, Paul (1974), espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999), Álgebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.