En matemáticas, el ordinal de Bachmann-Howard (u ordinal de Howard ) es un gran ordinal contable . Es el ordinal de la teoría de la demostración de varias teorías matemáticas , como la teoría de conjuntos de Kripke-Platek (con el axioma del infinito ) y el sistema CZF de la teoría de conjuntos constructiva . Fue introducido por Heinz Bachmann ( 1950 ) y William Alvin Howard ( 1972 ).
Definición
El ordinal de Bachmann-Howard se define mediante una función de colapso ordinal :
- ε α enumera los números épsilon , los ordinales ε tales que ω ε = ε .
- Ω = ω 1 es el primer ordinal incontable .
- ε Ω + 1 es el primer número épsilon después de Ω = ε Ω .
- ψ ( α ) se define como el ordinal más pequeño que no se puede construir comenzando con 0, 1, ω y Ω, y aplicando repetidamente la suma , multiplicación y exponenciación de ordinales , y ψ a ordinales previamente construidos (excepto que ψ solo se puede aplicar a argumentos menores que α , para asegurarse de que esté bien definido).
- El ordinal de Bachmann-Howard es ψ ( ε Ω + 1 ).
El ordinal de Bachmann-Howard también se puede definir como para una extensión de las funciones de Veblen φ α a ciertas funciones α de ordinales; esta extensión no es del todo sencilla.
Referencias
- Bachmann, Heinz (1950), "Die Normalfunktionen und das Problem der ausgezeichneten Folgen von Ordnungszahlen", Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zúrich , 95 : 115–147, MR 0036806
- Howard, WA (1972), "Un sistema de ordinales constructivos abstractos.", Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 37 (2): 355–374, doi : 10.2307 / 2272979 , JSTOR 2272979 , MR 0329869
- Pohlers, Wolfram (1989), Teoría de la prueba , Lecture Notes in Mathematics, 1407 , Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-540-46825-7 , ISBN 3-540-51842-8, MR 1026933
- Rathjen, Michael (agosto de 2005). "Teoría de la prueba: Parte III, teoría de conjuntos de Kripke-Platek" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 12 de junio de 2007 . Consultado el 17 de abril de 2008 . (Diapositivas de una charla dada en Fischbachau.)