En matemáticas , los números épsilon son una colección de números transfinitos cuya propiedad definitoria es que son puntos fijos de un mapa exponencial . En consecuencia, no son accesibles desde 0 a través de una serie finita de aplicaciones del mapa exponencial elegido y de operaciones "más débiles" como la suma y la multiplicación. Los números épsilon originales fueron introducidos por Georg Cantor en el contexto de la aritmética ordinal ; son los números ordinales ε que satisfacen la ecuación
en el que ω es el ordinal infinito más pequeño.
El menor de tales ordinales es ε 0 (pronunciado épsilon cero o épsilon cero ), que puede verse como el "límite" obtenido por recursividad transfinita a partir de una secuencia de ordinales límites más pequeños:
Los puntos fijos ordinales más grandes del mapa exponencial están indexados por subíndices ordinales, lo que da como resultado . El ordinal ε 0 sigue siendo contable , al igual que cualquier número épsilon cuyo índice sea contable (existen incontables ordinales y números épsilon incontables cuyo índice es un ordinal incontable).
El número épsilon más pequeño ε 0 aparece en muchas pruebas de inducción , porque para muchos propósitos, la inducción transfinita solo se requiere hasta ε 0 (como en la prueba de consistencia de Gentzen y la prueba del teorema de Goodstein ). Su uso por Gentzen para probar la consistencia de la aritmética de Peano , junto con el segundo teorema de incompletitud de Gödel , muestra que la aritmética de Peano no puede probar la fundamentación de este ordenamiento (de hecho, es el menos ordinal con esta propiedad, y como tal, en la demostración -análisis ordinal teórico , se utiliza como medida de la solidez de la teoría de la aritmética de Peano).
Se pueden definir muchos números épsilon más grandes usando la función Veblen .
John Horton Conway y Donald Knuth han identificado una clase más general de números épsilon en el sistema numérico surrealista , que consta de todos los surrealistas que son puntos fijos del mapa base ω exponencial x → ω x .
Hessenberg (1906) definió los números gamma (ver ordinal aditivamente indecomponible ) como números γ> 0 tal que α + γ = γ siempre que α <γ, y los números delta (ver ordinales multiplicativamente indecomponibles ) como números δ> 1 tal que αδ = δ siempre que 0 <α <δ, y los números épsilon sean números ε> 2 de manera que α ε = ε siempre que 1 <α <ε. Sus números gamma son los de la forma ω β , y sus números delta son los de la forma ω ω β .
Números ε ordinales
La definición estándar de exponenciación ordinal con base α es:
- por limite .
De esta definición, se deduce que para cualquier ordinal fijo α > 1, el mapeo es una función normal , por lo que tiene puntos fijos arbitrariamente grandes por el lema de punto fijo para funciones normales . Cuándo, estos puntos fijos son precisamente los números épsilon ordinales. El más pequeño de estos, ε 0 , es el supremo de la secuencia
en el que cada elemento es la imagen de su predecesor bajo el mapeo . (El término general se da usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth ; laoperador es equivalente a tetración .) Así como ω ω se define como el supremo de {ω k } para los números naturales k , el número epsilon ordinal más pequeño ε 0 también puede denotarse; esta notación es mucho menos común que ε 0 .
El siguiente número épsilon después es
en el que la secuencia se construye de nuevo mediante exponenciación de base base repetida pero comienza en en lugar de en 0. Aviso
Una secuencia diferente con el mismo supremo, , se obtiene partiendo de 0 y exponenciando con base ε 0 en su lugar:
El número épsilon indexado por cualquier ordinal sucesor α + 1 se construye de manera similar, por exponenciación de base starting comenzando por (o por base exponenciación a partir de 0).
Un número épsilon indexado por un ordinal límite α se construye de manera diferente. El número es el supremo del conjunto de números épsilon . El primero de esos números es. Sea o no el índice α un ordinal límite, es un punto fijo no solo de exponenciación de base ω sino también de exponenciación de base γ para todos los ordinales .
Dado que los números épsilon son una subclase ilimitada de los números ordinales, se enumeran utilizando los propios números ordinales. Para cualquier número ordinal, es el menor número de épsilon (punto fijo del mapa exponencial) que aún no está en el conjunto . Podría parecer que este es el equivalente no constructivo de la definición constructiva usando exponenciación iterada; pero las dos definiciones son igualmente no constructivas en los pasos indexados por ordinales límite, que representan la recursividad transfinita de un orden superior que tomar el supremo de una serie exponencial.
Los siguientes hechos sobre los números épsilon son muy sencillos de probar:
- Aunque es un número bastante grande, sigue siendo contable , siendo una unión contable de ordinales contables; De hecho, es contable si y solo si es contable.
- La unión (o suprema) de cualquier conjunto no vacío de números épsilon es un número épsilon; así que por ejemplo
- es un número épsilon. Por lo tanto, el mapeo es una función normal.
- El ordinal inicial de cualquier cardinal incontable es un número épsilon.
Representacion de por árboles enraizados
Cualquier número épsilon ε tiene la forma normal de Cantor , lo que significa que la forma normal de Cantor no es muy útil para números épsilon. Sin embargo, los ordinales menores que ε 0 pueden describirse de manera útil mediante sus formas normales de Cantor, lo que conduce a una representación de ε 0 como el conjunto ordenado de todos los árboles con raíces finitas , como sigue. Cualquier ordinal tiene la forma normal de Cantor donde k es un número natural y son ordinales con , determinado únicamente por . Cada uno de los ordinalesa su vez tiene una forma normal de Cantor similar. Obtenemos el árbol de raíces finitas que representa α uniendo las raíces de los árboles que representana una nueva raíz. (Esto tiene la consecuencia de que el número 0 está representado por una sola raíz mientras que el númeroestá representado por un árbol que contiene una raíz y una sola hoja.) Un orden en el conjunto de árboles con raíces finitas se define de forma recursiva: primero ordenamos los subárboles unidos a la raíz en orden decreciente, y luego usamos el orden lexicográfico en estas secuencias ordenadas de subárboles. De esta manera, el conjunto de todos los árboles con raíces finitas se convierte en un conjunto bien ordenado que es de orden isomorfo a ε 0 .
Jerarquía de Veblen
Los puntos fijos del "mapeo épsilon" forman una función normal, cuyos puntos fijos forman una función normal, cuyo ...; esto se conoce como la jerarquía de Veblen (las funciones de Veblen con base φ 0 (α) = ω α ). En la notación de la jerarquía de Veblen, el mapeo épsilon es φ 1 , y sus puntos fijos se enumeran con φ 2 .
Continuando en esta línea, se pueden definir mapas φ α para ordinales α progresivamente más grandes (incluyendo, por esta forma enrarecida de recursión transfinita, ordinales límite), con puntos fijos mínimos progresivamente más grandes φ α + 1 (0). El menos ordinal no alcanzable desde 0 mediante este procedimiento, es decir, el menos ordinal α para el cual φ α (0) = α, o de manera equivalente, el primer punto fijo del mapa.—Es el ordinal de Feferman – Schütte Γ 0 . En una teoría de conjuntos en la que se puede demostrar la existencia de tal ordinal, se tiene un mapa Γ que enumera los puntos fijos Γ 0 , Γ 1 , Γ 2 , ... de; todos estos siguen siendo números épsilon, ya que se encuentran en la imagen de φ β para cada β ≤ Γ 0 , incluido el mapa φ 1 que enumera los números épsilon.
Números ε surrealistas
En On Numbers and Games , la exposición clásica sobre números surrealistas , John Horton Conway proporcionó una serie de ejemplos de conceptos que tenían extensiones naturales desde los ordinales hasta los surrealistas. Una de esas funciones es la ω {\ Displaystyle \ omega} -mapa ; este mapeo se generaliza naturalmente para incluir todos los números surrealistas en su dominio , lo que a su vez proporciona una generalización natural de la forma normal de Cantor para los números surrealistas.
Es natural considerar cualquier punto fijo de este mapa expandido como un número épsilon, sea o no estrictamente un número ordinal. Algunos ejemplos de números épsilon no ordinales son
y
Hay una forma natural de definir para cada número surrealista n , y el mapa sigue conservando el orden. Conway continúa definiendo una clase más amplia de números surrealistas "irreductibles" que incluye los números épsilon como una subclase particularmente interesante.
Ver también
- Aritmética ordinal
- Ordinal contable grande
Referencias
- JH Conway, Sobre números y juegos (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
- Sección XIV.20 de Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (2a ed.), PWN - Polish Scientific Publishers