En lógica matemática y teoría de conjuntos , una función de colapso ordinal (o función de proyección ) es una técnica para definir ( notaciones para) ciertos ordinales contables grandes recursivos , cuyo principio es dar nombres a ciertos ordinales mucho más grandes que el que se está definiendo, tal vez incluso cardenales grandes (aunque pueden ser reemplazados con ordinales recursivamente grandes a costa de una dificultad técnica adicional), y luego los “colapsan” en un sistema de notaciones para el ordinal buscado. Por esta razón, las funciones de colapso ordinal se describen como una forma impredicativa de nombrar ordinales.
Los detalles de la definición de funciones de colapso ordinal varían y se vuelven más complicados a medida que se definen los ordinales mayores, pero la idea típica es que siempre que el sistema de notación "se queda sin combustible" y no puede nombrar un determinado ordinal, un ordinal mucho más grande es traído "desde arriba" para darle un nombre a ese punto crítico. Un ejemplo de cómo funciona esto se detallará a continuación, para una función de colapso ordinal que define el ordinal de Bachmann-Howard (es decir, que define un sistema de notaciones hasta el ordinal de Bachmann-Howard).
El uso y la definición de funciones de colapso ordinal está indisolublemente entrelazado con la teoría del análisis ordinal , ya que los grandes ordinales contables definidos y denotados por un colapso dado se utilizan para describir la fuerza de la teoría ordinal de ciertos sistemas formales , típicamente [1] [2 ] subsistemas de análisis (como los que se ven a la luz de las matemáticas inversas ), extensiones de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek , sistemas de matemáticas constructivas de estilo Bishop o sistemas de teoría de tipos intuicionistas de estilo Martin-Löf .
Las funciones de colapso ordinal se denotan típicamente usando alguna variación de la letra griega ( psi ) o( theta ).
Un ejemplo que conduce al ordinal de Bachmann-Howard
La elección de la función de colapso ordinal dada como ejemplo a continuación imita en gran medida el sistema introducido por Buchholz [3], pero se limita a colapsar un cardinal para mayor claridad de exposición. Más acerca de la relación entre este ejemplo y el sistema de Buchholz que se dirá más adelante .
Definición
Dejar representa el primer ordinal incontable , o, de hecho, cualquier ordinal que sea (un -número y) garantizado que sea mayor que todos los ordinales contables que se construirán (por ejemplo, el ordinal Church-Kleene es adecuado para nuestros propósitos; pero trabajaremos conporque permite el uso conveniente de la palabra contable en las definiciones).
Definimos una función (que será continuo y no decreciente ), tomando un ordinal arbitrario a un ordinal contable , recursivamente en , como sigue:
- Asumir ha sido definido para todos , y queremos definir .
- Dejar ser el conjunto de ordinales generado a partir de , , y aplicando recursivamente las siguientes funciones: suma ordinal , multiplicación y exponenciación y la función , es decir, la restricción de a ordinales . (Formalmente, definimos e inductivamente para todos los números naturales y dejamos ser la unión de la para todos .)
- Luego se define como el ordinal más pequeño que no pertenece a .
De una manera más concisa (aunque más oscura):
- es el ordinal más pequeño que no se puede expresar a partir de , , y usando sumas, productos, exponenciales y la función en sí misma (a ordinales previamente construidos menos de ).
Aquí hay un intento de explicar la motivación para la definición de en términos intuitivos: dado que las operaciones habituales de suma, multiplicación y exponenciación no son suficientes para designar ordinales muy lejos, intentamos crear sistemáticamente nuevos nombres para ordinales tomando el primero que aún no tiene nombre, y siempre que se nos acabe de nombres, en lugar de inventarlos de manera ad hoc o usando esquemas diagonales , los buscamos en los ordinales mucho más allá de los que estamos construyendo (más allá de, es decir); así que damos nombres a los ordinales incontables y, dado que al final la lista de nombres es necesariamente contable, los “colapsará” en ordinales contables.
Cálculo de valores de
Para aclarar cómo la función es capaz de producir notaciones para ciertos ordinales, ahora calculamos sus primeros valores.
Inicio predictivo
Primero considera . Contiene ordinales, , , , , , , , , , , , y así. También contiene ordinales como, , , . El primer ordinal que no contiene es (que es el límite de , , y así sucesivamente - menos de por suposición). El límite superior de los ordinales que contiene es (el límite de , , y así sucesivamente), pero eso no es tan importante. Esto muestra que.
Similar, contiene los ordinales que se pueden formar a partir de , , , y esta vez tambien , usando suma, multiplicación y exponenciación. Esto contiene todos los ordinales hasta pero no el último, entonces . De esta manera probamos que inductivamente en : la prueba funciona, sin embargo, solo mientras . Por tanto, tenemos:
- para todos , dónde es el punto fijo más pequeño de .
(Aquí el Las funciones son las funciones de Veblen definidas comenzando con.)
Ahora pero no es más grande, ya que no se puede construir utilizando aplicaciones finitas de y por lo tanto nunca pertenece a un establecido para , y la función permanece "atascado" en durante algún tiempo:
- para todos .
Primeros valores impredicativos
De nuevo, . Sin embargo, cuando llegamos a la informática, algo ha cambiado: desde fue ("artificialmente") añadido a todos los , se nos permite tomar el valor en el proceso. Entonces contiene todos los ordinales que se pueden construir a partir de , , , , la funcionar hasta y esta vez tambien sí mismo, usando la suma, la multiplicación y la exponenciación. El ordinal más pequeño que no está en es (el mas pequeño -número después ).
Decimos que la definición y los siguientes valores de la función como son impredicativos porque usan ordinales (aquí,) mayor que los que se están definiendo (aquí, ).
Valores de hasta el ordinal Feferman-Schütte
El hecho de que sigue siendo cierto para todos (tenga en cuenta, en particular, que : pero desde ahora el ordinal se ha construido no hay nada que impida ir más allá de esto). Sin embargo, en (el primer punto fijo de más allá de ), la construcción se detiene de nuevo, porque no se puede construir a partir de ordinales más pequeños y aplicando finitamente el función. Entonces tenemos.
El mismo razonamiento muestra que para todos , dónde enumera los puntos fijos de y es el primer punto fijo de . Entonces tenemos.
De nuevo, podemos ver que durante algún tiempo: esto sigue siendo cierto hasta el primer punto fijo de , que es el ordinal de Feferman-Schütte . Por lo tanto, es el ordinal de Feferman-Schütte.
Más allá del ordinal de Feferman-Schütte
Tenemos para todos dónde es el siguiente punto fijo de . Así que si enumera los puntos fijos en cuestión (que también se pueden señalar usando las funciones de Veblen de muchos valores) tenemos , hasta el primer punto fijo de El sí mismo, que será (y el primer punto fijo de El las funciones serán ). De esta forma:
- es el ordinal de Ackermann (el rango de la notación definido predicativamente),
- es el ordinal de Veblen "pequeño" (el rango de las notaciones predicativamente usando un número finito de variables),
- es el ordinal de Veblen "grande" (el rango de las notaciones predicativamente usando muchas variables transfinita pero predicativamente),
- el límite de , , , etc., es el ordinal de Bachmann-Howard : después de esto nuestra función es constante, y no podemos avanzar más con la definición que hemos dado.
Notaciones ordinales hasta el ordinal de Bachmann-Howard
Ahora explicamos de forma más sistemática cómo La función define notaciones para ordinales hasta el ordinal de Bachmann-Howard.
Una nota sobre las representaciones base
Recuerda que si es un ordinal que es un poder de (por ejemplo sí mismo, o , o ), cualquier ordinal se puede expresar de forma única en la forma , dónde es un número natural, son ordinales distintos de cero menores que , y son números ordinales (permitimos ). Esta "baserepresentación ”es una generalización obvia de la forma normal de Cantor (que es el caso). Por supuesto, es muy posible que la expresión no sea interesante, es decir,, pero en cualquier otro caso el todos deben ser menores que ; También puede darse el caso de que la expresión sea trivial (es decir,, en ese caso y ).
Si es un ordinal menor que , luego su base la representación tiene coeficientes (por definición) y exponentes (debido a la suposición ): por lo tanto, uno puede reescribir estos exponentes en base y repita la operación hasta que termine el proceso (cualquier secuencia decreciente de ordinales es finita). Llamamos a la expresión resultante la base iteradarepresentación dey los diversos coeficientes involucrados (incluidos como exponentes) las piezas de la representación (todas son), o, para abreviar, el -piezas de .
Algunas propiedades de
- La función es no decreciente y continuo (esto es más o menos obvio a partir de su definición).
- Si con entonces necesariamente . De hecho, no ordinal con puede pertenecer a (de lo contrario, su imagen por , cual es pertenecería a - imposible); entonces está cerrado por todo lo que es el cierre, por lo que son iguales.
- Algún valor tomada por es un -número (es decir, un punto fijo de ). De hecho, si no lo fuera, entonces al escribirlo en la forma normal de Cantor , podría expresarse usando sumas, productos y exponenciación de elementos menores que él, por lo tanto, en, por lo que estaría en , una contradicción.
- Lema: asumir es un -número y un ordinal tal que para todos : entonces el -piezas (definidas anteriormente ) de cualquier elemento de son menos que . De hecho, deja ser el conjunto de ordinales todos cuyos -piezas son menores que . Luego está cerrado bajo suma, multiplicación y exponenciación (porque es un -número, por lo que los ordinales menores que él se cierran bajo suma, multiplicación y exponenciación). Y también contiene cada por por suposición, y contiene , , , . Entonces, que se iba a mostrar.
- Bajo la hipótesis del lema anterior, (de hecho, el lema muestra que ).
- Alguna -número menor que algún elemento en el rango de está en el rango de (es decir, omite no -número). De hecho: si es un -número no mayor que el rango de , dejar ser el límite superior mínimo del tal que : entonces por lo anterior tenemos , pero contradeciría el hecho de que es el límite superior mínimo , por lo que.
- Cuando sea , el conjunto consiste exactamente en esos ordinales (menos que ) todos cuyos -piezas son menores que . De hecho, sabemos que todos los ordinales menores de, por lo tanto, todos los ordinales (menos de ) cuyo -piezas son menores que , están en . Por el contrario, si asumimos para todos (en otras palabras si es lo menos posible con ), el lema da la propiedad deseada. Por otro lado, si para algunos , entonces ya hemos comentado y podemos reemplazar por lo menos posible con .
La notación ordinal
Usando los hechos anteriores, podemos definir una notación ordinal (canónica) para cada menos que el ordinal de Bachmann-Howard. Hacemos esto por inducción en.
Si es menos que , usamos la forma normal iterada de Cantor de . De lo contrario, existe un mayor-número menor o igual a (esto se debe a que el conjunto de -números cerrados): si entonces por inducción hemos definido una notación para y la base representacion de da uno por , así que hemos terminado.
Queda por tratar el caso en el que es un -número: hemos argumentado que, en este caso, podemos escribir para algunos (posiblemente incontables) ordinales : dejar ser el mayor posible de tales ordinales (que existe desdees continuo). Usamos la base iterada representacion de : queda por demostrar que cada pieza de esta representación es menor que (por lo que ya hemos definido una notación para ello). Si este no es el caso, entonces, por las propiedades que hemos mostrado, no contiene ; pero entonces (se cierran bajo las mismas operaciones, ya que el valor de a nunca se puede tomar), así que , contradiciendo la maximalidad de .
Nota : En realidad, hemos definido notaciones canónicas no solo para los ordinales por debajo del ordinal de Bachmann-Howard, sino también para ciertos ordinales incontables, es decir, aquellos cuyos-piezas son menores que el ordinal de Bachmann-Howard (es decir, escríbalos en base iterada representación y utilizar la representación canónica para cada pieza). Esta notación canónica se utiliza para argumentos de la función (que puede ser incontable).
Ejemplos de
Para ordinales menores que , la notación ordinal canónica definida coincide con la forma normal de Cantor iterada (por definición).
Para ordinales menores que , la notación coincide con la base iterada notación (las piezas están escritas en forma iterada normal de Cantor): por ejemplo, sera escrito o, más exactamente, . Para ordinales menores que, escribimos de manera similar en base iterada y luego escribir las piezas en base iterada (y escribe las piezas de eso en forma normal de Cantor iterada): entonces está escrito o, más exactamente, . Así, hasta, siempre usamos la mayor cantidad posible -número base que da una representación no trivial.
Más allá de esto, es posible que necesitemos expresar ordinales más allá de : esto siempre se hace en iterado -base, y las piezas en sí deben expresarse utilizando el mayor tamaño posible -número base que da una representación no trivial.
Tenga en cuenta que mientras es igual al ordinal de Bachmann-Howard, esto no es una “notación canónica” en el sentido que hemos definido (las notaciones canónicas se definen solo para los ordinales menores que el ordinal de Bachmann-Howard).
Condiciones de canonicidad
Las notaciones así definidas tienen la propiedad de que siempre que anidan funciones, los argumentos del "interior" función son siempre menores que las de la "externa" (esto es una consecuencia del hecho de que la -piezas de , dónde es el más grande posible de tal manera que para algunos -número , son todos menos que , como hemos mostrado arriba). Por ejemplo, no ocurre como una notación: es una expresión bien definida (y es igual a desde es constante entre y ), pero no es una notación producida por el algoritmo inductivo que hemos descrito.
La canonicidad se puede verificar de forma recursiva: una expresión es canónica si y solo si es la forma normal iterada de Cantor de un ordinal menor que , o una base iterada representación todas cuyas piezas son canónicas, para algunos dónde está escrito en una base iterada representación todas cuyas piezas son canónicas y menos de . El orden se verifica mediante verificación lexicográfica en todos los niveles (teniendo en cuenta que es mayor que cualquier expresión obtenida por , y para los valores canónicos el mayor siempre triunfa sobre las sumas, productos y exponenciales menores o incluso arbitrarios de lo menor).
Por ejemplo, es una notación canónica para un ordinal que es menor que el ordinal de Feferman-Schütte: se puede escribir usando las funciones de Veblen como .
En cuanto al orden, se podría señalar que (el ordinal de Feferman-Schütte) es mucho más que (porque es mayor que de cualquier cosa), y es en sí mismo mucho más que (porque es mayor que , entonces cualquier expresión de suma-producto-o-exponencial que involucre y el valor menor seguirá siendo menor que ). De echo, ya es menos que .
Secuencias estándar para notaciones ordinales
Para atestiguar el hecho de que hemos definido notaciones para ordinales por debajo del ordinal de Bachmann-Howard (que son todos de cofinalidad contable ), podríamos definir secuencias estándar que convergen a cualquiera de ellos (siempre que sea un ordinal límite, por supuesto). En realidad, también definiremos secuencias canónicas para ciertos ordinales incontables, a saber, los ordinales incontables de cofinalidad contable (si queremos definir una secuencia que converja con ellos ...) que son representables (es decir, todos cuyos-piezas son menores que el ordinal de Bachmann-Howard).
Las siguientes reglas son más o menos obvias, excepto la última:
- Primero, deshazte de la base (iterada) representaciones: para definir una secuencia estándar que converge a , dónde es cualquiera o (o , pero ver más abajo):
- Si es cero entonces y no hay nada que hacer;
- Si es cero y es sucesor, entonces es sucesor y no hay nada que hacer;
- Si es límite, tome la secuencia estándar que converge a y reemplazar en la expresión por los elementos de esa secuencia;
- Si es sucesor y es límite, reescribe el último término como y reemplaza el exponente en último término por los elementos de la secuencia fundamental que convergen a ella;
- Si es sucesor y es también, reescribe el último término como y reemplaza el último en esta expresión por los elementos de la secuencia fundamental que convergen a ella.
- Si es , luego toma lo obvio , , , ... como la secuencia fundamental para .
- Si luego tome como secuencia fundamental para la secuencia , , ...
- Si luego tome como secuencia fundamental para la secuencia , , ...
- Si dónde es un ordinal límite de cofinalidad contable , defina la secuencia estándar para que se obtendrá aplicando a la secuencia estándar para (recordar que es continuo y creciente, aquí).
- Queda por manejar el caso donde con un ordinal de cofinalidad incontable (p. ej.,sí mismo). Obviamente, no tiene sentido definir una secuencia que converja aen este caso; sin embargo, lo que podemos definir es una secuencia que converge a algunos con cofinalidad contable y tal que es constante entre y . Esto será el primer punto fijo de una determinada función (continua y no decreciente) . Para encontrarlo, aplique las mismas reglas (desde la base representacion de ) como para encontrar la secuencia canónica de , excepto que siempre que una secuencia que converge a se pide (algo que no puede existir), reemplace el en cuestión, en la expresión de , por un (dónde es una variable) y realizar una iteración repetida (a partir de , digamos) de la función : esto da una secuencia , , … Tendiendo a , y la secuencia canónica para es , , … Si dejamos que el th elemento (comenzando en ) de la secuencia fundamental para ser denotado como , entonces podemos afirmar esto más claramente usando la recursividad. Usando esta notación, podemos ver quemuy fácilmente. Podemos definir el resto de la secuencia usando recursividad:. (Los ejemplos a continuación deberían aclarar esto).
A continuación se muestran algunos ejemplos del último (y más interesante) caso:
- La secuencia canónica para es: , , ... Esto de hecho converge a después de lo cual es constante hasta .
- La secuencia canónica para es: , , ... Esto de hecho converge con el valor de a después de lo cual es constante hasta .
- La secuencia canónica para es: , , ... Esto converge al valor de a .
- La secuencia canónica para es , , ... Esto converge al valor de a .
- La secuencia canónica para es: , , ... Esto converge al valor de a .
- La secuencia canónica para es: , , ... Esto converge al valor de a .
- La secuencia canónica para es: , , ... Esto converge al valor de a .
- La secuencia canónica para es: , , ...
A continuación, se muestran algunos ejemplos de los otros casos:
- La secuencia canónica para es: , , , ...
- La secuencia canónica para es: , , , ...
- La secuencia canónica para es: , , , ...
- La secuencia canónica para es: , , ...
- La secuencia canónica para es: , , , ...
- La secuencia canónica para es: , , , ...
- La secuencia canónica para es: , , , ...
- La secuencia canónica para es: , , ... (esto se deriva de la secuencia fundamental para ).
- La secuencia canónica para es: , , ... (esto se deriva de la secuencia fundamental para , que se dio arriba).
Aunque el ordinal de Bachmann-Howard en sí mismo no tiene notación canónica, también es útil definir una secuencia canónica para él: esto es , , ...
Un proceso de terminación
Comience con cualquier ordinal menor o igual que el ordinal de Bachmann-Howard y repita el siguiente proceso siempre que no sea cero:
- si el ordinal es un sucesor, reste uno (es decir, reemplácelo con su predecesor),
- si es un límite, reemplácelo por algún elemento de la secuencia canónica definida para él.
Entonces es cierto que este proceso siempre termina (ya que cualquier secuencia decreciente de ordinales es finita); sin embargo, como (pero aún más que para) el juego de la hidra :
- que puede tomar un muy largo tiempo para terminar,
- la prueba de terminación puede estar fuera del alcance de ciertos sistemas aritméticos débiles.
Para dar una idea de cómo se siente el proceso, aquí hay algunos pasos: comenzando desde (el ordinal pequeño de Veblen), podríamos bajar a , desde ahí hasta , luego luego luego luego luego luego luego y así. Parece que las expresiones se vuelven cada vez más complicadas, mientras que, de hecho, los ordinales siempre disminuyen.
En cuanto a la primera declaración, se podría introducir, para cualquier ordinal menor o igual al ordinal de Bachmann-Howard , la función entera que cuenta el número de pasos del proceso antes de la terminación si siempre se selecciona el 'th elemento de la secuencia canónica (esta función satisface la identidad ). Luego puede ser una función de crecimiento muy rápido: ya Es esencial , la función es comparable con la función de Ackermann , y es comparable con la función de Goodstein . Si, en cambio, hacemos una función que satisfaga la identidad, para que el índice de la función aumente se aplica, luego creamos una función de crecimiento mucho más rápido: ya es comparable a la función de Goodstein, y es comparable a la función TREE .
En cuanto al segundo enunciado, el análisis ordinal da una versión precisa : por ejemplo, la teoría de conjuntos de Kripke-Platek puede probar [4] que el proceso termina para cualquiermenos que el ordinal de Bachmann-Howard, pero no puede hacerlo de manera uniforme, es decir, no puede probar la terminación a partir del ordinal de Bachmann-Howard. Algunas teorías como la aritmética de Peano están limitadas por ordinales mucho más pequeños ( en el caso de la aritmética de Peano).
Variaciones sobre el ejemplo
Hacer que la función sea menos poderosa
Es instructivo (aunque no exactamente útil) hacer menos poderoso.
Si modificamos la definición de anterior para omitir la exponenciación del repertorio del que está construido, entonces obtenemos (ya que este es el ordinal más pequeño que no se puede construir a partir de , y usando solamente la suma y la multiplicación), luego y de manera similar , hasta llegar a un punto fijo que es entonces nuestro . Entonces tenemos y así sucesivamente hasta . Dado que la multiplicación deestá permitido, todavía podemos formar y y así sucesivamente, pero nuestra construcción termina ahí, ya que no hay forma de llegar ni más allá : por lo que el rango de este sistema de notación debilitado es (El valor de es lo mismo en nuestro sistema más débil que en nuestro sistema original, excepto que ahora no podemos ir más allá). Esto ni siquiera llega tan lejos como el ordinal de Feferman-Schütte.
Si modificamos la definición de sin embargo, algunos más para permitir solo la adición como una primitiva para la construcción, obtenemos y y así sucesivamente hasta y todavía . Esta vez, y así sucesivamente hasta y de manera similar . Pero esta vez no podemos ir más lejos: ya que solo podemos agregar's, el alcance de nuestro sistema es .
En ambos casos, encontramos que la limitación de los debilitados La función proviene no tanto de las operaciones permitidas en los ordinales contables como de los ordinales incontables que nos permitimos denotar.
Más allá del ordinal de Bachmann-Howard
Lo sabemos es el ordinal de Bachmann-Howard. La razón por la cual no es más grande, con nuestras definiciones, es que no hay una notación para (no pertenece a para cualquier , es siempre el límite superior mínimo). Uno podría intentar agregar elfunción (o las funciones de Veblen de tantas-variables) a las primitivas permitidas más allá de la suma, multiplicación y exponenciación, pero eso no nos lleva muy lejos. Para crear notaciones más sistemáticas para los ordinales contables, necesitamos notaciones más sistemáticas para los ordinales incontables: no podemos usar la funciona en sí mismo porque solo produce ordinales contables (p. ej., es, , ciertamente no ), por lo que la idea es imitar su definición de la siguiente manera:
- Dejar ser el ordinal más pequeño que no se puede expresar a partir de todos los ordinales contables, y usando sumas, productos, exponenciales y la función en sí misma (a ordinales previamente construidos menos de ).
Aquí, es un nuevo ordinal garantizado para ser mayor que todos los ordinales que se construirán utilizando : de nuevo, dejando y obras.
Por ejemplo, , y más en general para todos los ordinales contables e incluso más allá ( y ): esto se mantiene hasta el primer punto fijo más allá de de El función, que es el límite de , Etcétera. Más allá de esto, tenemos y esto sigue siendo cierto hasta : exactamente como fue el caso de , tenemos y .
La La función nos da un sistema de notaciones (¡ asumiendo que de alguna manera podemos escribir todos los ordinales contables!) para los ordinales incontables a continuación, que es el límite de , Etcétera.
Ahora podemos reinyectar estas notaciones en el original. función, modificada de la siguiente manera:
- es el ordinal más pequeño que no se puede expresar a partir de , , , y usando sumas, productos, exponenciales, el función, y la función en sí misma (a ordinales previamente construidos menos de ).
Esta función modificada coincide con el anterior hasta (e incluido) - que es el ordinal de Bachmann-Howard. Pero ahora podemos ir más allá de esto, y es (el siguiente -número después del ordinal de Bachmann-Howard). Hemos hecho nuestro sistema doblemente impredicativo: para crear notaciones para ordinales contables usamos notaciones para ciertos ordinales entre y que se definen utilizando ciertos ordinales más allá de .
Una variación de este esquema, que hace poca diferencia cuando se usan solo dos (o un número finito) de funciones colapsantes, pero se vuelve importante para un número infinito de ellas, es definir
- es el ordinal más pequeño que no se puede expresar a partir de , , , y usando sumas, productos, exponenciales y la y función (a ordinales previamente construidos menores que ).
es decir, permitir el uso de solo para argumentos menores a sí mismo. Con esta definición, debemos escribir en vez de (aunque todavía es igual a , por supuesto, pero ahora es constante hasta ). Este cambio no es esencial porque, intuitivamente hablando, el función colapsa los ordinales identificables más allá de debajo de este último, por lo que importa poco si se invoca directamente en los ordinales más allá de o en su imagen por . Pero permite definir y por inducción simultánea (en lugar de "descendente"), y esto es importante si vamos a utilizar infinitas funciones colapsantes.
De hecho, no hay razón para detenerse en dos niveles: usar nuevos cardenales de esta manera, , obtenemos un sistema esencialmente equivalente al introducido por Buchholz, [3] la diferencia no esencial es que, dado que Buchholz usaordinales desde el principio, no necesita permitir multiplicaciones o exponenciaciones; Además, Buchholz no introduce los números. o en el sistema, ya que también serán producidos por el Funciones: esto hace que todo el esquema sea mucho más elegante y más conciso de definir, aunque más difícil de entender. Este sistema también es sensiblemente equivalente a los "diagramas ordinales" anteriores (y mucho más difíciles de comprender) de Takeuti [5] y funciones de Feferman: su rango es el mismo (, que podría llamarse el ordinal de Takeuti-Feferman-Buchholz, y que describe la fuerza de Π 1 1 {\ Displaystyle \ Pi _ {1} ^ {1}} -comprensión más inducción de barra ).
Una variante "normal"
La mayoría de las definiciones de funciones de colapso ordinal encontradas en la literatura reciente difieren de las que hemos dado en una forma técnica pero importante que las hace técnicamente más convenientes aunque intuitivamente menos transparentes. Ahora explicamos esto.
La siguiente definición (por inducción en ) es completamente equivalente al de la función arriba :
- Dejar ser el conjunto de ordinales generado a partir de , , , y todos los ordinales menores que aplicando de forma recursiva las siguientes funciones: suma ordinal, multiplicación y exponenciación, y la función . Luego se define como el ordinal más pequeño tal que .
(Esto es equivalente, porque si es el ordinal más pequeño que no está en , que es como definimos originalmente , entonces también es el ordinal más pequeño que no está en , y además las propiedades que describimos de implica que no hay ordinal entre inclusivo y exclusivo pertenece a .)
Ahora podemos hacer un cambio en la definición que la hace sutilmente diferente:
- Dejar ser el conjunto de ordinales generado a partir de , , , y todos los ordinales menores que aplicando de forma recursiva las siguientes funciones: suma ordinal, multiplicación y exponenciación, y la función . Luego se define como el ordinal más pequeño tal que y .
Los primeros valores de coinciden con los de : a saber, para todos dónde , tenemos porque la cláusula adicional siempre está satisfecho. Pero en este punto las funciones comienzan a diferir: mientras que la función se "atasca" en para todos , la función satisface porque la nueva condición impone . Por otro lado, todavía tenemos (porque para todos por lo que la condición adicional no entra en juego). Tenga en cuenta en particular que, a diferencia de , no es monótona ni continua.
A pesar de estos cambios, el La función también define un sistema de notaciones ordinales hasta el ordinal de Bachmann-Howard: las notaciones y las condiciones de canonicalidad son ligeramente diferentes (por ejemplo, para todos menor que el valor común ).
Colapso de grandes cardenales
Como se señaló en la introducción, el uso y la definición de funciones de colapso ordinal están fuertemente conectados con la teoría del análisis ordinal , por lo que el colapso de este o aquel gran cardinal debe mencionarse simultáneamente con la teoría para la cual proporciona un análisis de teoría de la prueba.
- Gerhard Jäger y Wolfram Pohlers [6] describieron el colapso de un cardenal inaccesible para describir la fuerza de la teoría ordinal de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek aumentada por la inaccesibilidad recursiva de la clase de ordinales ( KPi ), que también es teóricamente equivalente [ 1] a-comprensión más inducción de barra . En términos generales, este colapso se puede obtener agregando el función a la lista de construcciones a las que el se aplica el sistema de colapso.
- Michael Rathjen [7] luego describió el colapso de un cardenal Mahlo para describir la fuerza de la teoría ordinal de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek aumentada por la mahloness recursiva de la clase de ordinales ( KPM ).
- Rathjen [8] describió más tarde el colapso de un cardenal débilmente compacto para describir la fuerza de la teoría ordinal de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek aumentada por ciertos principios de reflexión (concentrándose en el caso de-reflexión). Hablando muy grosso modo, esto procede introduciendo el primer cardenal cual es -hyper-Mahlo y agregando el funcionar a sí mismo para el sistema colapsante.
- Rathjen ha comenzado [ ¿cuándo? ] [9] la investigación del colapso de cardenales aún más grandes, con el objetivo final de lograr un análisis ordinal de-comprensión (que es teóricamente demostrativa equivalente al aumento de Kripke-Platek por -separación).
Notas
- ↑ a b Rathjen, 1995 (Bull. Lógica simbólica)
- ^ Kahle, 2002 (síntesis)
- ↑ a b Buchholz, 1986 (Ann. Pure Appl. Logic)
- ^ Rathjen, 2005 (diapositivas de Fischbachau)
- ^ Takeuti, 1967 (Ann. Math.)
- ^ Jäger y Pohlers, 1983 (Bayer. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber.)
- ^ Rathjen, 1991 (Arq. Matemáticas. Lógica)
- ^ Rathjen, 1994 (Ann. Pure Appl. Logic)
- ^ Rathjen, 2005 (Arq. Matemáticas. Lógica)
Referencias
- Takeuti, Gaisi (1967). "Pruebas de consistencia de subsistemas de análisis clásico". Annals of Mathematics . 86 (2): 299–348. doi : 10.2307 / 1970691 . JSTOR 1970691 .
- Jäger, Gerhard; Pohlers, Wolfram (1983). "Eine beweistheoretische Untersuchung von (-CA) + (BI) und verwandter Systeme ". Bayerische Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse Sitzungsberichte . 1982 : 1–28.
- Buchholz, Wilfried (1986). "Un nuevo sistema de funciones ordinales teóricas de prueba" . Anales de lógica pura y aplicada . 32 : 195-207. doi : 10.1016 / 0168-0072 (86) 90052-7 .
- Rathjen, Michael (1991). "Análisis teórico-de prueba de KPM". Archivo de lógica matemática . 30 (5–6): 377–403. doi : 10.1007 / BF01621475 . S2CID 9376863 .
- Rathjen, Michael (1994). "Teoría de la prueba de la reflexión" (PDF) . Anales de lógica pura y aplicada . 68 (2): 181–224. doi : 10.1016 / 0168-0072 (94) 90074-4 .
- Rathjen, Michael (1995). "Avances recientes en el análisis ordinal: Π 2 1 {\ Displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}} -CA y sistemas relacionados" . El Boletín de Symbolic Logic . 1 (4): 468-485. Doi : 10.2307 / 421132 . JSTOR 421.132 .
- Kahle, Reinhard (2002). "Teoría de la prueba matemática a la luz del análisis ordinal". Síntesis . 133 : 237-255. doi : 10.1023 / A: 1020892011851 . S2CID 45695465 .
- Rathjen, Michael (2005). "Un análisis ordinal de estabilidad" . Archivo de lógica matemática . 44 : 1–62. CiteSeerX 10.1.1.15.9786 . doi : 10.1007 / s00153-004-0226-2 . S2CID 2686302 .
- Rathjen, Michael (agosto de 2005). "Teoría de la prueba: parte III, teoría de conjuntos de Kripke-Platek" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 12 de junio de 2007 . Consultado el 17 de abril de 2008 .(diapositivas de una charla dada en Fischbachau)