En geometría , la desigualdad de Barrow es una desigualdad que relaciona las distancias entre un punto arbitrario dentro de un triángulo , los vértices del triángulo y ciertos puntos en los lados del triángulo. Lleva el nombre de David Francis Barrow .
Declaración
Sea P un punto arbitrario dentro del triángulo ABC . A partir de P y ABC , defina U , V y W como los puntos donde las bisectrices de BPC , CPA y APB intersecan los lados BC , CA , AB , respectivamente. Entonces la desigualdad de Barrow establece que [1]
siendo la igualdad sólo en el caso de un triángulo equilátero y P es el centro del triángulo. [1]
Generalización
La desigualdad de Barrow se puede extender a polígonos convexos. Para un polígono convexo con vértices dejar ser un punto interior y las intersecciones de las bisectrices de los ángulos con los lados del polígono asociados , entonces se cumple la siguiente desigualdad: [2] [3]
Aquí denota la función secante . Para el caso del triángulo la desigualdad se convierte en la desigualdad de Barrow debido a .
Historia
La desigualdad de Barrow refuerza la desigualdad de Erdős-Mordell , que tiene una forma idéntica excepto con PU , PV y PW reemplazados por las tres distancias de P desde los lados del triángulo. Lleva el nombre de David Francis Barrow . La prueba de Barrow de esta desigualdad se publicó en 1937, como su solución a un problema planteado en el American Mathematical Monthly de probar la desigualdad de Erdős-Mordell. [1] Este resultado se denominó "desigualdad de Barrow" ya en 1961. [4]
Más tarde, Louis J. Mordell dio una prueba más simple . [5]
Ver también
Referencias
- ^ a b c Erdős, Paul ; Mordell, LJ ; Barrow, David F. (1937), "Solución al problema 3740", American Mathematical Monthly , 44 (4): 252-254, doi : 10.2307 / 2300713 , JSTOR 2300713.
- ^ M. Dinca: "Una simple prueba de la desigualdad de Erdös-Mordell" . En: Articole si Note Matematice , 2009
- ^ Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". En: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung , Band 12, S. 311–314, doi: 10.1007 / BF01650566 (alemán).
- ^ Oppenheim, A. (1961), "Nuevas desigualdades para un triángulo y un punto interno", Annali di Matematica Pura ed Applicata , 53 : 157–163, doi : 10.1007 / BF02417793 , MR 0124774
- ^ Mordell, LJ (1962), "Sobre problemas geométricos de Erdös y Oppenheim", The Mathematical Gazette , 46 (357): 213-215, JSTOR 3614019.