En las matemáticas , la serie hipergeométrica básica , o q serie -hypergeometric , son q -Analógico generalizaciones de la serie hipergeométrica generalizada , y son a su vez generalizada por la serie hipergeométrica elíptica . Una serie x n se llama hipergeométrica si la razón de términos sucesivos x n +1 / x n es una función racional de n . Si la razón de términos sucesivos es una función racional de q n, entonces la serie se denomina serie hipergeométrica básica. El número q se llama base.
La serie hipergeométrica básica 2 φ 1 ( q α , q β ; q γ ; q , x ) fue considerada por primera vez por Eduard Heine ( 1846 ). Se convierte en la serie hipergeométrica F (α, β; γ; x ) en el límite cuando la base q es 1.
Hay dos formas de series hipergeométricas básicas, la serie hipergeométrica básica unilateral φ y la serie hipergeométrica básica bilateral más general ψ. La serie hipergeométrica básica unilateral se define como
Esta serie se llama balanceada si a 1 ... a k + 1 = b 1 ... b k q . Esta serie se llama bien equilibrada si a 1 q = a 2 b 1 = ... = a k + 1 b k , y muy bien equilibrada si además a 2 = - a 3 = qa 1 1/2. La serie hipergeométrica básica unilateral es un q-análogo de la serie hipergeométrica ya que
sostiene ( Koekoek y Swarttouw (1996) ).
La serie hipergeométrica básica bilateral , correspondiente a la serie hipergeométrica bilateral , se define como
La serie unilateral se puede obtener como un caso especial de la bilateral mediante el establecimiento de uno de los b variables de igual a q , al menos cuando ninguna de las una variables es una potencia de q , ya que todos los términos con n <0, entonces se desvanecen.