Elliptic analog of hypergeometric series
En matemáticas, una serie hipergeométrica elíptica es una serie Σ c n c n c n −1función elíptica de n , análoga a la serie hipergeométrica generalizada donde la razón es una función racional de n , y una serie hipergeométrica básica donde la razón es una función periódica del número complejo n . Fueron introducidos por Date-Jimbo-Kuniba-Miwa-Okado (1987) y Frenkel & Turaev (1997) en su estudio de los símbolos elípticos 6-j .
Para encuestas de series hipergeométricas elípticas, consulte Gasper y Rahman (2004) , Spiridonov (2008) o Rosengren (2016) .
Definiciones [ editar ] El símbolo q-Pochhammer se define por
( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) . {\displaystyle \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).} ( a 1 , a 2 , … , a m ; q ) n = ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n … ( a m ; q ) n . {\displaystyle \displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.} La función theta Jacobi modificado con argumento x y nome p se define por
θ ( x ; p ) = ( x , p / x ; p ) ∞ {\displaystyle \displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }} θ ( x 1 , . . . , x m ; p ) = θ ( x 1 ; p ) . . . θ ( x m ; p ) {\displaystyle \displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)} El factorial elíptico desplazado se define por
( a ; q , p ) n = θ ( a ; p ) θ ( a q ; p ) . . . θ ( a q n − 1 ; p ) {\displaystyle \displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)} ( a 1 , . . . , a m ; q , p ) n = ( a 1 ; q , p ) n ⋯ ( a m ; q , p ) n {\displaystyle \displaystyle (a_{1},...,a_{m};q,p)_{n}=(a_{1};q,p)_{n}\cdots (a_{m};q,p)_{n}} La serie hipergeométrica theta r +1 E r
r + 1 E r ( a 1 , . . . a r + 1 ; b 1 , . . . , b r ; q , p ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 , . . . , a r + 1 ; q ; p ) n ( q , b 1 , . . . , b r ; q , p ) n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}} La serie hipergeométrica theta muy bien equilibrada r +1 V r
r + 1 V r ( a 1 ; a 6 , a 7 , . . . a r + 1 ; q , p ; z ) = ∑ n = 0 ∞ θ ( a 1 q 2 n ; p ) θ ( a 1 ; p ) ( a 1 , a 6 , a 7 , . . . , a r + 1 ; q ; p ) n ( q , a 1 q / a 6 , a 1 q / a 7 , . . . , a 1 q / a r + 1 ; q , p ) n ( q z ) n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}} La serie hipergeométrica theta bilateral r G r
r G r ( a 1 , . . . a r ; b 1 , . . . , b r ; q , p ; z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , . . . , a r ; q ; p ) n ( b 1 , . . . , b r ; q , p ) n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q;p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}} Definiciones de series hipergeométricas elípticas aditivas [ editar ] Los números elípticos están definidos por
[ a ; σ , τ ] = θ 1 ( π σ a , e π i τ ) θ 1 ( π σ , e π i τ ) {\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}} donde la función theta de Jacobi está definida por
θ 1 ( x , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q ( n + 1 / 2 ) 2 e ( 2 n + 1 ) i x {\displaystyle \theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}} Los factoriales desplazados elípticos aditivos se definen por
[ a ; σ , τ ] n = [ a ; σ , τ ] [ a + 1 ; σ , τ ] . . . [ a + n − 1 ; σ , τ ] {\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]} [ a 1 , . . . , a m ; σ , τ ] = [ a 1 ; σ , τ ] . . . [ a m ; σ , τ ] {\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]} La serie hipergeométrica theta aditiva r +1 e r
r + 1 e r ( a 1 , . . . a r + 1 ; b 1 , . . . , b r ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ a 1 , . . . , a r + 1 ; σ ; τ ] n [ 1 , b 1 , . . . , b r ; σ , τ ] n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ;\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}} La serie hipergeométrica theta aditiva muy bien equilibrada r +1 v r
r + 1 v r ( a 1 ; a 6 , . . . a r + 1 ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ a 1 + 2 n ; σ , τ ] [ a 1 ; σ , τ ] [ a 1 , a 6 , . . . , a r + 1 ; σ , τ ] n [ 1 , 1 + a 1 − a 6 , . . . , 1 + a 1 − a r + 1 ; σ , τ ] n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}} Lectura adicional [ editar ] Spiridonov, vicepresidente (2013). "Aspectos de las funciones hipergeométricas elípticas". En Berndt, Bruce C. (ed.). El legado de Srinivasa Ramanujan Actas de una conferencia internacional en celebración del 125 aniversario del nacimiento de Ramanujan; Universidad de Delhi, 17 a 22 de diciembre de 2012 . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática Ramanujan. 20 . Sociedad Matemática Ramanujan. págs. 347–361. arXiv : 1307.2876 Código bibliográfico : 2013arXiv1307.2876S . ISBN 9789380416137 Rosengren, Hjalmar (2016). "Funciones hipergeométricas elípticas". arXiv : 1608.06161 matemáticas.CA ]. Referencias [ editar ] Frenkel, Igor B .; Turaev, Vladimir G. (1997), "Soluciones elípticas de la ecuación de Yang-Baxter y funciones hipergeométricas modulares" , Seminarios matemáticos Arnold-Gelfand , Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 171-204, ISBN 978-0-8176-3883-2 Señor 1429892 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Serie hipergeométrica básica , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 MR 2128719 Spiridonov, VP (2002), "Serie hipergeométrica Theta", Combinatoria asintótica con aplicación a la física matemática (San Petersburgo, 2001) , NATO Sci. Ser. II Matemáticas. Phys. Chem., 77 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Págs. 307–327, arXiv : math / 0303204 Bibcode : 2003math ...... 3204S , MR 2000728 Spiridonov, VP (2003), "Integrales hipergeométricas Theta", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Álgebra i Analiz , 15 (6): 161–215, arXiv : math / 0303205 , Bibcode : 2003math ...... 3205S , doi : 10.1090 / S1061-0022-04-00839-8 , MR 2044635 , S2CID 14471695 Spiridonov, VP (2008), "Ensayos sobre la teoría de funciones hipergeométricas elípticas", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 63 (3): 3–72, arXiv : 0805.3135 , Bibcode : 2008RuMaS..63..405S , doi : 10.1070 / RM2008v063n03ABEH004533 , MR 2479997 , S2CID 16996893 Warnaar, S. Ole (2002), "Fórmulas de suma y transformación para series hipergeométricas elípticas", Aproximación constructiva , 18 (4): 479–502, arXiv : math / 0001006 , doi : 10.1007 / s00365-002-0501-6 , Señor 1920282 , S2CID 18102177
Progresión aritmética Progresión geométrica Progresión armónica Número cuadrado Número cúbico Factorial Potencias de dos Potencias de tres Potencias de 10 Secuencia completa Números de Fibonacci Número figurado Número heptagonal Número hexagonal Número de lucas Número de Pell Número pentagonal Número poligonal Número triangular
Secuencia de Cauchy Secuencia monótona Secuencia periódica Serie convergente Serie divergente Convergencia condicional Convergencia absoluta Convergencia uniforme Serie alternante Serie telescópica
1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2 s + 1/3 s + ... (función zeta de Riemann) 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ (serie de Grandi) Serie aritmética infinita 1-2 + 3-4 + ⋯ 1-2 + 4-8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (serie armónica) 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + ⋯ (factoriales alternos) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversas de primos)
Serie de taylor Serie de potencia Serie de poder formal Serie Laurent Serie Puiseux Serie Dirichlet Serie trigonométrica series de Fourier Generando series Serie hipergeométrica generalizada Función hipergeométrica de un argumento de matriz Serie hipergeométrica de Lauricella Serie hipergeométrica modular Ecuación diferencial de Riemann Serie hipergeométrica theta
![[a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{{\pi i\tau }})}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{{\pi i\tau }})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d8d0bb1b97924ff5cb8dcb7862b623aa311ce)
![[a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2da38081b9cc727134b56777757ea212d8d0ca)
![[a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b392b65337d21af3f4f57af588c903f192db9a35)
![\displaystyle {}_{{r+1}}e_{r}(a_{1},...a_{{r+1}};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{{r+1}};\sigma ;\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58afdad63c4f0c8a067eb0dccafd04990a7f5a2)
![\displaystyle {}_{{r+1}}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{{r+1}};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{{r+1}};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{{r+1}};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ad1ba53fcbf4c2e9c7ba290172f33b9e441216)
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