Conjetura de Bateman-Horn
En teoría de números , la conjetura de Bateman-Horn es una declaración sobre la frecuencia de los números primos entre los valores de un sistema de polinomios , llamado así por los matemáticos Paul T. Bateman y Roger A. Horn , quienes lo propusieron en 1962. Proporciona una gran generalización. de conjeturas como la de Hardy y Littlewood sobre la densidad de los números primos gemelos o su conjetura sobre los números primos de la forma n 2 + 1; es también un reforzamiento de la hipótesis H de Schinzel .
La conjetura de Bateman-Horn proporciona una densidad conjeturada para los enteros positivos en los que un conjunto dado de polinomios tiene todos valores primos. Para un conjunto de m polinomios irreducibles distintos ƒ 1 , ..., ƒ m con coeficientes enteros, una condición necesaria obvia para que los polinomios generen simultáneamente valores primos infinitamente a menudo es que satisfagan la propiedad de Bunyakovsky de que no existe un número primo p que divide su producto f ( n ) por cada entero positivo n . Porque, si hubiera tal primo p, tener todos los valores de los polinomios primos simultáneamente para un n dado implicaría que al menos uno de ellos debe ser igual a p , lo que solo puede suceder para un número finito de valores de n o habría un polinomio con un número infinito de raíces, mientras que el La conjetura es cómo dar condiciones donde los valores son simultáneamente primos para infinitos n .
Un entero n genera primos para el sistema dado de polinomios si cada polinomio ƒ i ( n ) produce un número primo cuando se le da n como argumento. Si P ( x ) es el número de enteros primos entre los enteros positivos menores que x , entonces la conjetura de Bateman-Horn establece que
con el número de soluciones de
La propiedad de Bunyakovsky implica para todos los números primos p , por lo que cada factor en el producto infinito C es positivo. Intuitivamente, uno espera naturalmente que la constante C sea en sí misma positiva, y con algo de trabajo esto se puede demostrar. (Se necesita trabajo ya que algunos productos infinitos de números positivos son iguales a cero).
Como se indicó anteriormente, la conjetura no es cierta: el polinomio único ƒ 1 ( x ) = − x produce solo números negativos cuando se le da un argumento positivo, por lo que la fracción de números primos entre sus valores siempre es cero. Hay dos formas igualmente válidas de refinar la conjetura para evitar esta dificultad: