Polinomio de valor entero
En matemáticas , un polinomio de valor entero (también conocido como polinomio numérico ) es un polinomio cuyo valor es un número entero para cada número entero n . Todo polinomio con coeficientes enteros tiene valores enteros, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el polinomio
toma valores enteros siempre que t sea un número entero. Eso es porque uno de t y debe ser un número par . (Los valores que toma este polinomio son los números triangulares ).
Los polinomios de valores enteros son objetos de estudio por derecho propio en álgebra y aparecen con frecuencia en topología algebraica . [1]
La clase de polinomios de valores enteros fue descrita completamente por George Pólya ( 1915 ). Dentro del anillo de polinomios de polinomios con coeficientes de números racionales , el subanillo de polinomios de valores enteros es un grupo abeliano libre . tiene como base los polinomios
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para , es decir, los coeficientes binomiales . En otras palabras, cada polinomio de valor entero se puede escribir como una combinación lineal entera de coeficientes binomiales exactamente de una manera. La prueba es por el método de la serie discreta de Taylor : los coeficientes binomiales son polinomios de valor entero y, a la inversa, la diferencia discreta de una serie entera es una serie entera, por lo que la serie discreta de Taylor de una serie entera generada por un polinomio tiene coeficientes enteros. (y es una serie finita).
Los polinomios con valores enteros se pueden usar de manera efectiva para resolver preguntas sobre divisores fijos de polinomios. Por ejemplo, los polinomios P con coeficientes enteros que siempre toman valores de números pares son solo aquellos que tienen valores enteros. Esos a su vez son los polinomios que pueden expresarse como una combinación lineal con coeficientes enteros pares de los coeficientes binomiales.
