En física nuclear , la ecuación de Bateman es un modelo matemático que describe abundancias y actividades en una cadena de desintegración en función del tiempo, basándose en las tasas de desintegración y abundancias iniciales. El modelo fue formulado por Ernest Rutherford en 1905 [1] y la solución analítica fue proporcionada por Harry Bateman en 1910. [2]
Si, en el momento t , hay átomos de isótopo que se descompone en isótopos a la tasa , la cantidad de isótopos en la cadena de desintegración de k pasos evoluciona como:
(esto se puede adaptar para manejar ramas en descomposición). Si bien esto se puede resolver explícitamente para i = 2, las fórmulas rápidamente se vuelven engorrosas para cadenas más largas. [3] La ecuación de Bateman es una ecuación maestra clásica donde las tasas de transición solo se permiten de una especie (i) a la siguiente (i + 1) pero nunca en el sentido inverso (i + 1 a i está prohibido).
Bateman encontró una fórmula general explícita para las cantidades tomando la transformada de Laplace de las variables.
(También se puede expandir con términos fuente, si se proporcionan externamente más átomos del isótopo i a una tasa constante). [4]
Si bien la fórmula de Bateman se puede implementar en un código de computadora, si para algunos pares de isótopos, la cancelación puede provocar errores de cálculo. Por tanto, también se utilizan otros métodos como la integración numérica o el método exponencial matricial . [5]
Por ejemplo, para el caso simple de una cadena de tres isótopos, la ecuación de Bateman correspondiente se reduce a
Ver también
Referencias
- ^ Rutherford, E. (1905). Radioactividad. Prensa Universitaria. pag. 331
- ^ Bateman, H. (junio de 1910). La solución de un sistema de ecuaciones diferenciales que ocurre en la teoría de las transformaciones radiactivas. En Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, págs. 423–427) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 27 de septiembre de 2013 . Consultado el 22 de septiembre de 2013 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ http://www.nucleonica.com/wiki/index.php?title=Help%3ADecay_Engine%2B%2B
- ^ Logan J. Harr. Cálculo preciso de cadenas complejas de desintegración radiactiva. Tesis de Maestría en Ciencias del Instituto de Tecnología de la Fuerza Aérea. 2007. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a469273.pdf