En matemáticas, los polinomios de Bateman son una familia F n de polinomios ortogonales introducidos por Bateman ( 1933 ). Los polinomios de Bateman-Pasternack son una generalización introducida por Pasternack (1939) .
Los polinomios de Bateman se pueden definir mediante la relación
donde P n es un polinomio de Legendre . En términos de funciones hipergeométricas generalizadas , están dadas por
Pasternack (1939) generalizó los polinomios de Bateman a polinomios Fm
n con
Estos polinomios generalizados también tienen una representación en términos de funciones hipergeométricas generalizadas, a saber
Carlitz (1957) mostró que los polinomios Q n estudiados por Touchard (1956) , ver polinomios de Touchard , son los mismos que los polinomios de Bateman hasta un cambio de variable: más precisamente
Los polinomios de Bateman y Pasternack son casos especiales de polinomios de Hahn continuos simétricos .
Ejemplos de
Los polinomios de n pequeña se leen
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Propiedades
Ortogonalidad
Los polinomios de Bateman satisfacen la relación de ortogonalidad [1] [2]
El factor ocurre en el lado derecho de esta ecuación porque los polinomios de Bateman como se definen aquí deben ser escalados por un factor para hacer que sigan teniendo un valor real para un argumento imaginario. La relación de ortogonalidad es más simple cuando se expresa en términos de un conjunto modificado de polinomios definido por, por lo que se convierte en
Relación de recurrencia
La secuencia de polinomios de Bateman satisface la relación de recurrencia [3]
Función generadora
Los polinomios de Bateman también tienen la función generadora
que a veces se usa para definirlos. [4]
Referencias
- ^ Koelink (1996)
- ^ Bateman, H. (1934), "El polinomio" , Ann. Math. 35 (4): 767-775.
- ^ Bateman (1933), p. 28.
- ^ Bateman (1933), p. 23.
- Al-Salam, Nadhla A. (1967). "Una clase de polinomios hipergeométricos". Ana. Estera. Pura Appl . 75 (1): 95-120. doi : 10.1007 / BF02416800 .
- Bateman, H. (1933), "Algunas propiedades de un determinado conjunto de polinomios". , Tôhoku Mathematical Journal , 37 : 23–38, JFM 59.0364.02
- Carlitz, Leonard (1957), "Algunos polinomios de Touchard conectados con los números de Bernoulli", Canadian Journal of Mathematics , 9 : 188-190, doi : 10.4153 / CJM-1957-021-9 , ISSN 0008-414X , MR 0085361
- Koelink, HT (1996), "Sobre Jacobi y polinomios continuos de Hahn", Proceedings of the American Mathematical Society , 124 (3): 887–898, doi : 10.1090 / S0002-9939-96-03190-5 , ISSN 0002-9939 , MR 1307541
- Pasternack, Simon (1939), "Una generalización del polinomio F n (x)", London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , 28 (187): 209-226, doi : 10.1080 / 14786443908521175 , MR 0000698
- Touchard, Jacques (1956), "Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli", Canadian Journal of Mathematics , 8 : 305–320, doi : 10.4153 / cjm-1956-034-1 , ISSN 0008-414X , MR 0079021