Teorema de Bayes

En teoría de probabilidad y estadística , el teorema de Bayes (alternativamente ley de Bayes o regla de Bayes ; recientemente teorema de Bayes-Price ^{[1] : 44, 45, 46 y 67} ), llamado así por Thomas Bayes , describe la probabilidad de un evento , basado en en el conocimiento previo de las condiciones que puedan estar relacionadas con el evento. ^[2]Por ejemplo, si se sabe que el riesgo de desarrollar problemas de salud aumenta con la edad, el teorema de Bayes permite que el riesgo de un individuo de una edad conocida se evalúe con mayor precisión (condicionándolo a su edad) que simplemente asumiendo que el individuo es típico de la población en su conjunto.

Una de las muchas aplicaciones del teorema de Bayes es la inferencia bayesiana , un enfoque particular de la inferencia estadística . Cuando se aplican, las probabilidades involucradas en el teorema pueden tener diferentes interpretaciones de probabilidad . Con la interpretación de probabilidad bayesiana , el teorema expresa cómo un grado de creencia, expresado como probabilidad, debería cambiar racionalmente para dar cuenta de la disponibilidad de evidencia relacionada. La inferencia bayesiana es fundamental para las estadísticas bayesianas .

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}}}$

donde y son eventos y .${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización B}$${\displaystyle P(B)\neq 0}$

donde es la probabilidad de que tanto A como B sean verdaderas. Similar,${\displaystyle PAG(A\cap B)}$

Resolviendo y sustituyendo en la expresión anterior para se obtiene el teorema de Bayes:${\displaystyle PAG(A\cap B)}$${\displaystyle PAG(A\mid B)}$

Un letrero de neón azul que muestra el enunciado simple del teorema de Bayes

Figura 1: uso de un cuadro de frecuencia para mostrar visualmente por comparación de áreas sombreadas${\displaystyle P({\text{Usuario}}\mid {\text{Positivo}})}$

Figura 2: Una visualización geométrica del teorema de Bayes.

Figura 3: Ilustración de la interpretación frecuentista con diagramas de árbol .

Figura 4: Diagrama de árbol que ilustra el ejemplo del escarabajo. R, C, P y son los eventos raros, comunes, con patrón y sin patrón. Los porcentajes entre paréntesis están calculados. Se dan tres valores independientes, por lo que es posible calcular el árbol inverso.${\displaystyle {\sobrelínea {P}}}$

Figura 5: Teorema de Bayes aplicado a un espacio de eventos generado por variables aleatorias continuas X e Y. Existe una instancia del teorema de Bayes para cada punto en el dominio . En la práctica, estas instancias se pueden parametrizar escribiendo las densidades de probabilidad especificadas como una función de x e y .

Figura 6: Una forma de conceptualizar espacios de eventos generados por variables aleatorias continuas X e Y.