La transformada de Belinski-Zakharov (inversa) es una transformación no lineal que genera nuevas soluciones exactas de la ecuación de campo de Einstein del vacío . Fue desarrollado por Vladimir Belinski y Vladimir Zakharov en 1978. [1] La transformada de Belinski-Zakharov es una generalización de la transformada de dispersión inversa . Las soluciones producidas por esta transformada se denominan solitones gravitacionales (gravisolitones). A pesar de que el término 'solitón' se usa para describir los solitones gravitacionales, su comportamiento es muy diferente al de otros solitones (clásicos). [2]En particular, los solitones gravitacionales no conservan su amplitud y forma en el tiempo, y hasta junio de 2012 se desconoce su interpretación general. Sin embargo, lo que se sabe es que la mayoría de los agujeros negros (y en particular la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kerr ) son casos especiales de solitones gravitacionales.
Introducción
La transformada de Belinski-Zakharov funciona para intervalos de espacio-tiempo de la forma
donde usamos la convención de suma de Einstein para. Se supone que tanto la función y la matriz depende de las coordenadas y solo. A pesar de ser una forma específica del intervalo espacio-tiempo que sólo depende de dos variables, que incluye un gran número de interesantes soluciones a casos especiales, tales como la métrica de Schwarzschild , la métrica de Kerr , Einstein-Rosen métrica , y muchos otros.
En este caso, la ecuación de vacío de Einstein se descompone en dos conjuntos de ecuaciones para la matriz y la función . Usando coordenadas de cono de luz, la primera ecuación de la matriz es
dónde es la raíz cuadrada del determinante de , a saber
El segundo conjunto de ecuaciones es
Tomando la traza de la ecuación matricial para revela que de hecho satisface la ecuación de onda
El par laxo
Considere los operadores lineales definido por
dónde es un parámetro espectral complejo auxiliar. Un simple cálculo muestra que desde satisface la ecuación de onda, . Este par de operadores se desplazan, este es el par Lax .
La esencia detrás de la transformada de dispersión inversa es reescribir la ecuación de Einstein no lineal como un sistema de ecuación lineal sobredeterminado para una nueva función matricial. Considere las ecuaciones de Belinski-Zakharov:
Operando en el lado izquierdo de la primera ecuación con y en el lado izquierdo de la segunda ecuación con y restando los resultados, el lado izquierdo desaparece como resultado de la conmutatividad de y . En cuanto al lado derecho, un breve cálculo muestra que, de hecho, también desaparece precisamente cuando satisface la ecuación de Einstein matricial no lineal.
Esto significa que las ecuaciones lineales de Belinski-Zakharov sobredeterminadas se pueden resolver simultáneamente exactamente cuando resuelve la ecuación matricial no lineal. De hecho, se puede restaurar fácilmente de la función de valores matriciales mediante un simple proceso de limitación. Tomando el limite en las ecuaciones de Belinski-Zakharov y multiplicar por de la derecha da
Por lo tanto, una solución de lo no lineal La ecuación se obtiene a partir de una solución de la ecuación lineal de Belinski-Zakharov mediante una evaluación simple.
Referencias
- ^ V. Belinskii y V. Zakharov, Integración de las ecuaciones de Einstein por medio de la técnica del problema de dispersión inversa y construcción de soluciones solitónicas exactas, Sov. Phys. JETP 48 (6) (1978)
- ^ V. Belinski y E. Verdaguer, Solitones gravitacionales, Monografías de Cambridge sobre física matemática (2001)