En matemáticas , en la teoría de sistemas integrables , un par Lax es un par de matrices u operadores dependientes del tiempo que satisfacen una ecuación diferencial correspondiente , llamada ecuación Lax . Peter Lax presentó las parejas laxas para discutir los solitones en medios continuos . La transformada de dispersión inversa hace uso de las ecuaciones Lax para resolver tales sistemas.
Definición
Un par laxo es un par de matrices u operadores dependiente del tiempo y actuando sobre un espacio fijo de Hilbert , y satisfaciendo la ecuación de Lax :
dónde es el conmutador . A menudo, como en el ejemplo siguiente, depende de de una manera prescrita, por lo que esta es una ecuación no lineal para como una función de .
Propiedad isospectral
Entonces se puede demostrar que los valores propios y más generalmente el espectro de L son independientes de t . Se dice que las matrices / operadores L son isospectrales como varía.
La observación central es que las matrices son todos similares en virtud de
dónde es la solución del problema de Cauchy
donde I denota la matriz de identidad. Tenga en cuenta que si P (t) es adjunto sesgado , U (t, s) será unitario .
En otras palabras, para resolver el problema de valor propio Lψ = λψ en el tiempo t , es posible resolver el mismo problema en el tiempo 0 donde L se conoce mejor en general, y propagar la solución con las siguientes fórmulas:
- (sin cambios en el espectro)
Vincular con el método de dispersión inversa
La propiedad anterior es la base del método de dispersión inversa. En este método, L y P actúan sobre un espacio funcional (por tanto, ψ = ψ (t, x) ), y dependen de una función desconocida u (t, x) que se va a determinar. Generalmente se supone que se conoce u (0, x) y que P no depende de u en la región de dispersión donde. El método toma la siguiente forma:
- Calcule el espectro de , donación y ,
- En la región de dispersión donde es conocido, propagarse a tiempo usando con condición inicial ,
- Conocimiento en la región de dispersión, calcule y / o .
Ejemplos de
Ecuación de Korteweg – de Vries
La ecuación de Korteweg-de Vries
se puede reformular como la ecuación Lax
con
donde todas las derivadas actúan sobre todos los objetos a la derecha. Esto explica el número infinito de primeras integrales de la ecuación KdV.
Top de Kovalevskaya
El ejemplo anterior utilizó un espacio de Hilbert de dimensión infinita. También son posibles ejemplos con espacios de Hilbert de dimensión finita. Estos incluyen la parte superior de Kovalevskaya y la generalización para incluir un campo eléctrico. [1]
Cuadro de Heisenberg
En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica , un observable A sin dependencia explícita del tiempo t satisface
con H el hamiltoniano y ħ la constante de Planck reducida . Aparte de un factor, se puede ver que los observables (sin dependencia explícita del tiempo) en esta imagen forman pares Lax junto con el hamiltoniano. La imagen de Schrödinger se interpreta entonces como la expresión alternativa en términos de evolución isoespectral de estos observables.
Más ejemplos
Otros ejemplos de sistemas de ecuaciones que se pueden formular como un par Lax incluyen:
- Ecuación de Benjamin – Ono
- Ecuación de Schrödinger no lineal cúbica unidimensional
- Sistema Davey-Stewartson
- Sistemas integrables con pares Lax de contacto [2]
- Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
- Ecuación de Korteweg – de Vries
- Jerarquía de KdV
- Ecuación de Korteweg-de Vries modificada
- Ecuación de Sine-Gordon
- Toda la celosía
- Tops de Lagrange, Euler y Kovalevskaya
- Transformada de Belinski-Zakharov , en relatividad general.
El último es notable, ya que implica que tanto la métrica de Schwarzschild como la métrica de Kerr pueden entenderse como solitones.
Referencias
- ^ Bobenko, AI; Reyman, AG; Semenov-Tian-Shansky, MA (1989). "El top de Kowalewski 99 años después: un par laxo, generalizaciones y soluciones explícitas" . Comunicaciones en Física Matemática . 122 (2): 321–354. Código Bibliográfico : 1989CMaPh.122..321B . doi : 10.1007 / BF01257419 . ISSN 0010-3616 .
- ^ A. Sergyeyev, Nuevos sistemas dimensionales integrables (3 + 1) y geometría de contacto, Lett. Matemáticas. Phys. 108 (2018), núm. 2, 359-376, arXiv : 1401.2122 doi : 10.1007 / s11005-017-1013-4
- Lax, P. (1968), "Integrales de ecuaciones no lineales de evolución y ondas solitarias", Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5): 467–490, doi : 10.1002 / cpa.3160210503 archivo
- P. Lax y RS Phillips, Teoría de dispersión para funciones automórficas [1] , (1976) Princeton University Press.