En física matemática , la integral de Berezin , llamada así por Felix Berezin , (también conocida como integral de Grassmann , por Hermann Grassmann ), es una forma de definir la integración para funciones de variables de Grassmann (elementos del álgebra exterior ). No es una integral en el sentido de Lebesgue ; la palabra "integral" se usa porque la integral de Berezin tiene propiedades análogas a la integral de Lebesgue y porque extiende la integral de trayectoria en física, donde se usa como una suma de historias para fermiones .
Dejar
ser el álgebra exterior de polinomios en elementos anticonmutación
sobre el campo de los números complejos. (El orden de los generadores
es fijo y define la orientación del álgebra exterior.)
Una variable
La integral de Berezin sobre la única variable de Grassmann
se define como un funcional lineal
![{\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde definimos
![{\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
así que eso :
![{\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Estas propiedades definen la integral de manera única e implican
![{\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Toma nota de que
es la función más general de
porque las variables de Grassmann cuadran con cero, entonces
no puede tener términos distintos de cero más allá del orden lineal.
Varias variables
La integral de Berezin en
se define como el único funcional lineal
con las siguientes propiedades:
![\int_{\Lambda^n}\theta_{n}\cdots\theta_{1}\,\mathrm{d}\theta=1,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\int_{\Lambda^n}\frac{\partial f}{\partial\theta_{i}}\,\mathrm{d}\theta=0,\ i=1,\dots,n](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cualquier
dónde
significa la derivada parcial izquierda o derecha. Estas propiedades definen la integral de forma única.
Tenga en cuenta que existen diferentes convenciones en la literatura: algunos autores definen en su lugar [1]
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La formula
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
expresa la ley Fubini. En el lado derecho, la integral interior de un monomio
está configurado para ser
dónde
; la integral de
desaparece. La integral con respecto a
se calcula de forma similar y así sucesivamente.
Cambio de variables de Grassmann
Dejar
ser polinomios impares en algunas variables antisimétricas
. El jacobiano es la matriz
![{\displaystyle D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
se refiere a la derivada derecha (
). La fórmula para el cambio de coordenadas dice
![{\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
Considere ahora el álgebra
de funciones de variables de conmutación reales
y de variables anticonmutación
(que se llama superalgebra libre de dimensión
). Intuitivamente, una función
es una función de m variables pares (bosónicas, conmutadas) y de n variables impares (fermiónicas, anti-conmutación). Más formalmente, un elemento
es una función del argumento
que varía en un set abierto
con valores en el álgebra
Supongamos que esta función es continua y se desvanece en el complemento de un conjunto compacto
La integral de Berezin es el número
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cambio de variables pares e impares
Sea una transformación de coordenadas dada por
dónde
son parejos y
son polinomios impares de
dependiendo de las variables pares
La matriz jacobiana de esta transformación tiene la forma de bloque:
![{\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde cada derivado par
conmuta con todos los elementos del álgebra
; las derivadas impares conmutan con elementos pares y anticonmutan con elementos impares. Las entradas de los bloques diagonales
y
son pares y las entradas de los bloques fuera de la diagonal
son funciones impares, donde
de nuevo significa derivadas derechas .
Ahora necesitamos el bereziniano (o superdeterminante ) de la matriz
, que es la función par
![{\displaystyle \mathrm {Ber~J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
definido cuando la función
es invertible en
Supongamos que las funciones reales
definir un mapa suave e invertible
de conjuntos abiertos
en
y la parte lineal del mapa
es invertible para cada
La ley de transformación general para la integral de Berezin dice
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm {d} y,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
) es el signo de la orientación del mapa
La superposición
se define de forma obvia, si las funciones
no dependas de
En el caso general, escribimos
dónde
son incluso elementos nilpotentes de
y establecer
![{\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la serie de Taylor es finita.
Las siguientes fórmulas para integrales gaussianas se utilizan a menudo en la formulación de integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos :
![\int \exp\left[-\theta^TA\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
siendo un complejo
matriz.
![{\displaystyle \int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,d\theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ even}}\\0&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
siendo un complejo simétrico sesgado
matriz, y
siendo el Pfaffian de
, que cumple
.
En las fórmulas anteriores, la notación
se utiliza. A partir de estas fórmulas, se siguen otras fórmulas útiles (consulte el Apéndice A en [2] ):
![{\displaystyle \int \exp \left[\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right]\,d\eta _{1}\,d\theta _{1}\dots d\eta _{n}d\theta _{n}=\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
siendo un invertible
matriz. Tenga en cuenta que todas estas integrales tienen la forma de una función de partición .
La teoría matemática de la integral con variables de conmutación y anticonmutación fue inventada y desarrollada por Felix Berezin . [3] David John Candlin [4] hizo algunas ideas importantes anteriores en 1956. Otros autores contribuyeron a estos desarrollos, incluidos los físicos Khalatnikov [5] (aunque su artículo contiene errores), Matthews y Salam, [6] y Martin . [7]