En matemáticas y física teórica , el bereziniano o superdeterminante es una generalización del determinante al caso de las supermatrices . El nombre es para Felix Berezin . El bereziniano juega un papel análogo al determinante cuando se consideran cambios de coordenadas para la integración en una supervariedad .
Definición
El bereziniano está determinado únicamente por dos propiedades definitorias:
donde str ( X ) denota la supertrace de X . A diferencia del determinante clásico, el bereziniano se define solo para supermatrices invertibles.
El caso más simple a considerar es el de un Berezinian supermatriz con entradas en un campo K . Tales supermatrices representan transformaciones lineales de un espacio vectorial súper sobre K . Una supermatriz par particular es una matriz de bloques de la forma
Tal matriz es invertible si y sólo si ambos A y D son matrices invertibles más de K . El bereziniano de X viene dado por
Para una motivación del exponente negativo, vea la fórmula de sustitución en el caso impar.
De manera más general, considere matrices con entradas en un álgebra supercommutative R . Una supermatriz uniforme tiene entonces la forma
donde A y D tienen entradas pares y B y C tienen entradas impares. Tal matriz es invertible si y solo si tanto A como D son invertibles en el anillo conmutativo R 0 (la subálgebra par de R ). En este caso el bereziniano viene dado por
o, de manera equivalente, por
Estas fórmulas están bien definidas ya que solo tomamos determinantes de matrices cuyas entradas están en el anillo conmutativo R 0 . La matriz
se conoce como el complemento de Schur de A relativo a
Una matriz impar X solo puede invertirse si el número de dimensiones pares es igual al número de dimensiones impares. En este caso, la invertibilidad de X es equivalente a la invertibilidad de JX , donde
Entonces el bereziniano de X se define como
Propiedades
- El bereziniano de es siempre una unidad en el anillo R 0 .
- dónde denota la supertransposición de .
Módulo bereziniano
El determinante de un endomorfismo de un módulo libre de M se puede definir como la acción inducida en el 1-dimensional de energía exterior más alto de M . En el caso supersimétrico no hay un poder exterior más alto, pero todavía hay una definición similar del bereziniano de la siguiente manera.
Supongamos que M es un módulo libre de dimensión ( p , q ) sobre R . Deje A sea el (super) álgebra simétrica S * ( M *) de la doble M * de M . Entonces, un automorfismo de M actúa sobre el módulo ext.
(que tiene dimensión (1,0) si q es par y dimensión (0,1) si q es impar)) como multiplicación por el bereziniano.
Ver también
Referencias
- Berezin, Feliks Aleksandrovich (1966) [1965], El método de la segunda cuantificación , Física pura y aplicada, 24 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-089450-5, MR 0208930
- Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)" , en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S .; Jeffrey, Lisa C .; Kazhdan, David; Morgan, John W .; Morrison, David R .; Witten., Edward (eds.), Campos cuánticos y cadenas: un curso para matemáticos, vol. 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, MR 1701597
- Manin, Yuri Ivanovich (1997), Gauge Field Theory and Complex Geometry (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61378-7