Supermanifold

En física y matemáticas , las supervariedades son generalizaciones del concepto múltiple basadas en ideas provenientes de la supersimetría . Se utilizan varias definiciones, algunas de las cuales se describen a continuación.

Definición informal

Una definición informal se usa comúnmente en libros de texto de física y conferencias introductorias. Define una supervariedad como una variedad con coordenadas bosónicas y fermiónicas . A nivel local, se compone de gráficos de coordenadas que lo hacen parecer un superespacio "plano", "euclidiano" . Estas coordenadas locales a menudo se denotan por

${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

donde x es la coordenada espaciotemporal (valorada en número real) , y y son "direcciones" espaciales valoradas por Grassmann .${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

La interpretación física de las coordenadas valoradas por Grassmann es objeto de debate; Las búsquedas experimentales explícitas de supersimetría no han arrojado ningún resultado positivo. Sin embargo, el uso de variables de Grassmann permite una tremenda simplificación de varios resultados matemáticos importantes. Esto incluye, entre otras cosas, una definición compacta de integrales funcionales , el tratamiento adecuado de los fantasmas en la cuantificación BRST , la cancelación de infinitos en la teoría cuántica de campos , el trabajo de Witten sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer y aplicaciones más recientes a la simetría especular .

El uso de coordenadas valoradas por Grassmann ha generado el campo de las supermatemáticas , en el que grandes porciones de geometría se pueden generalizar a superequivalentes, incluida gran parte de la geometría de Riemann y la mayor parte de la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie (como las superalgebras de Lie , etc. . ) Sin embargo, quedan problemas, incluida la extensión adecuada de la cohomología deRham a las supervariedades .

Definición

Se utilizan tres definiciones diferentes de supervariedades. Una definición es como un haz sobre un espacio anillado; esto a veces se denomina "enfoque álgebro-geométrico". ^[1] Este enfoque tiene una elegancia matemática, pero puede ser problemático en varios cálculos y comprensión intuitiva. Un segundo enfoque puede denominarse "enfoque concreto"; ^[1]ya que es capaz de generalizar simple y naturalmente una amplia clase de conceptos de las matemáticas ordinarias. Requiere el uso de un número infinito de generadores supersimétricos en su definición; sin embargo, todos menos un número finito de estos generadores no tienen contenido, ya que el enfoque concreto requiere el uso de una topología burda que hace que casi todos sean equivalentes. Sorprendentemente, estas dos definiciones, una con un número finito de generadores supersimétricos y otra con un número infinito de generadores, son equivalentes. ^{[1] [2]}

Un tercer enfoque describe una supervariedad como un topos base de un superpunto . Este enfoque sigue siendo tema de investigación activa. ^[3]

Algebro-geométrico: como una gavilla

Aunque las supervariedades son casos especiales de variedades no conmutativas , su estructura local las hace más adecuadas para estudiar con las herramientas de la geometría diferencial estándar y los espacios anillados localmente .

Una supervariedad M de dimensión (p, q) es un espacio topológico M con un haz de superalgebras , generalmente denotado O _M o C ^∞ ( M ), que es localmente isomorfo a , donde este último es un álgebra de Grassmann (Exterior) en q generadores.${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

Una supervariedad M de dimensión (1,1) a veces se denomina superficie super-Riemann .

Históricamente, este enfoque está asociado con Felix Berezin , Dimitry Leites y Bertram Kostant .

Hormigón: como un colector liso

Una definición diferente describe una supervariedad de una manera similar a la de una variedad suave , excepto que el espacio modelo ha sido reemplazado por el superespacio modelo .${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$

Para definir correctamente esto, es necesario explicar qué y son. Estos se dan como los subespacios reales pares e impares del espacio unidimensional de los números de Grassmann , que, por convención, son generados por un número infinito numerable de variables anti-conmutación: es decir, el espacio unidimensional viene dado por donde V es infinito-dimensional. Un elemento z se denomina real si ; los elementos reales que consisten en solo un número par de generadores Grassmann forman el espacio de los números c , mientras que los elementos reales que consisten solo en un número impar de generadores Grassmann forman el espacio de los números a${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \Lambda (V),}$${\displaystyle z=z^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$. Tenga en cuenta que los números c se desplazan al trabajo, mientras que los números a se desplazan contra el trabajo. Los espacios y luego se definen como los productos cartesianos de pliegue p y pliegue q de y . ^[4]${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$

Al igual que en el caso de una variedad ordinaria, la supervariedad se define como una colección de gráficos pegados entre sí con funciones de transición diferenciables. ^[4] Esta definición en términos de gráficos requiere que las funciones de transición tengan una estructura suave y un jacobiano que no desaparezca . Esto solo se puede lograr si los gráficos individuales usan una topología que es considerablemente más burda que la topología de espacio vectorial en el álgebra de Grassmann. Esta topología se obtiene proyectando hacia abajo y luego usando la topología natural en eso. La topología resultante no es de Hausdorff${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ , pero puede denominarse "proyectivamente Hausdorff". ^[4]

Que esta definición sea equivalente a la primera no es en absoluto obvio; sin embargo, es el uso de la topología burda lo que lo hace así, al hacer que la mayoría de los "puntos" sean idénticos. Es decir, con la topología aproximada es esencialmente isomorfa ^{[1] [2]} a${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

Históricamente, este enfoque está asociado con Alice Rogers , Bryce DeWitt y el trabajo de Jadczyk y Pilch. ^[5]

Propiedades

A diferencia de una variedad regular, una supervariedad no está compuesta enteramente por un conjunto de puntos. En cambio, se adopta el punto de vista dual de que la estructura de una supervariedad M está contenida en su haz O _M de "funciones suaves". En el punto de vista dual, un mapa inyectivo corresponde a una sobreyección de gavillas, y un mapa sobreyectivo corresponde a una inyección de gavillas.

Un enfoque alternativo al punto de vista dual es utilizar el functor de puntos .

Si M es una supervariedad de dimensión (p, q) , entonces el espacio subyacente M hereda la estructura de una variedad diferenciable cuyo haz de funciones suaves es O _M / I , donde I es el ideal generado por todas las funciones impares. De este modo M se llama el espacio subyacente, o el cuerpo, de M . El mapa de cocientes O _M → O _M / I corresponde a un mapa inyectivo M → M ; por lo tanto M es una subvariedad de M .

Ejemplos

• Sea M una variedad. La tangente impar haz ΠT M es un supermanifold propuesta por el fajo Ω ( M ) de las formas diferenciales sobre M .
• De manera más general, sea E → M un paquete de vectores . Entonces Π E es una supervariedad dada por la gavilla Γ (ΛE ^* ). De hecho, Π es un funtor de la categoría de paquetes de vectores a la categoría de supervariedades.
• Los supergrupos de mentiras son ejemplos de supervariedades.

Teorema de Batchelor

El teorema de Batchelor indica que cada supermanifold es noncanonically isomorfo a un supermanifold de la forma de Π E . La palabra "no canónicamente" evita que uno concluya que las supervariedades son simplemente paquetes de vectores glorificados; aunque el funtor Π se mapea de forma sobreyectiva en las clases de isomorfismo de supervariedades, no es una equivalencia de categorías. Fue publicado por Marjorie Batchelor en 1979. ^[6]

La prueba del teorema de Batchelor se basa de manera esencial en la existencia de una partición de unidad , por lo que no se aplica a las supervariedades complejas o analíticas reales.

Estructuras simplécticas extrañas

Forma simpléctica extraña

En muchas aplicaciones físicas y geométricas, un supermanifold viene equipado con una estructura simpléctica extraña a Grassmann . Todos los objetos geométricos naturales de un supermanifold se clasifican. En particular, el paquete de dos formas está equipado con una clasificación. Una forma simpléctica extraña ω en una supervariedad es una forma extraña cerrada, que induce un emparejamiento no degenerado en la MT . Tal supermanifold se denomina P-colector . Su dimensión graduada es necesariamente (n, n) , porque la forma simpléctica impar induce un emparejamiento de variables pares e impares. Existe una versión del teorema de Darboux para variedades P, que permite equipar una variedad P localmente con un conjunto de coordenadas donde la forma simpléctica impar ω se escribe como

${\displaystyle \omega =\sum _{i}d\xi _{i}\wedge dx_{i},}$

donde están las coordenadas pares y las coordenadas impares. (Una forma simpléctica impar no debe confundirse con una forma simpléctica par de Grassmann en una supervariedad. Por el contrario, la versión Darboux de una forma simpléctica par es${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \xi _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},}$

donde son coordenadas pares , coordenadas impares y son +1 o -1.)${\displaystyle p_{i},q_{i}}$${\displaystyle \xi _{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{j}}$

Antibracket

Dada una forma simple simpléctica impar ω uno puede definir un corchete de Poisson conocido como el antibrachete de dos funciones cualesquiera F y G en una supervarietal por

${\displaystyle \{F,G\}={\frac {\partial _{r}F}{\partial z^{i}}}\omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}G}{\partial z^{j}}}.}$

Aquí y son las derivadas derecha e izquierda , respectivamente, yz son las coordenadas de la supervariedad. Equipado con este corchete, el álgebra de funciones en una supermanifold se convierte en un álgebra antibracket .${\displaystyle \partial _{r}}$${\displaystyle \partial _{l}}$

Una transformación de coordenadas que conserva la antibracket se denomina P-transformación . Si el bereziniano de una transformación P es igual a uno, entonces se denomina transformación SP .

Colectores P y SP

Usando el teorema de Darboux para formas simplécticas impares, se puede demostrar que las variedades P se construyen a partir de conjuntos abiertos de superespacios unidos por transformaciones P. Se dice que una variedad es una variedad SP si estas funciones de transición se pueden elegir para que sean transformaciones SP. De manera equivalente, se puede definir una variedad SP como una supervariedad con una forma 2 impar no degenerada ω y una función de densidad ρ tal que en cada parche de coordenadas existen coordenadas de Darboux en las que ρ es idénticamente igual a uno.${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n|n}}$

Laplaciano

Se puede definir un operador laplaciano Δ en una variedad SP como el operador que lleva una función H a la mitad de la divergencia del correspondiente campo vectorial hamiltoniano . Explícitamente uno define

${\displaystyle \Delta H={\frac {1}{2\rho }}{\frac {\partial _{r}}{\partial z^{a}}}\left(\rho \omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}H}{\partial z^{j}}}\right)}$.

En las coordenadas de Darboux, esta definición se reduce a

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial _{r}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}}$

donde x ^a y θ _a son coordenadas pares e impares tales que

${\displaystyle \omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}}$.

El laplaciano es extraño y nilpotente

${\displaystyle \Delta ^{2}=0}$.

Se puede definir la cohomología de las funciones H con respecto a la laplaciana. En la cuantificación de Geometry of Batalin-Vilkovisky , Albert Schwarz ha demostrado que la integral de una función H sobre una subvariedad lagrangiana L depende solo de la clase de cohomología de H y de la clase de homología del cuerpo de L en el cuerpo de la supervariedad ambiental.

SUSY

Una estructura pre-SUSY en una supermanifold de dimensión (n, m) es una distribución m -dimensional impar . Con tal distribución, se asocia su tensor de Frobenius (dado que P es impar, el tensor de Frobenius asimétrico es una operación simétrica). Si este tensor no es degenerado, por ejemplo, se encuentra en una órbita abierta de , M se denomina variedad SUSY . La estructura SUSY en dimensión (1, k) es la misma que la estructura de contacto impar .${\displaystyle P\subset TM}$${\displaystyle S^{2}P\mapsto TM/P}$${\displaystyle GL(P)\times GL(TM/P)}$

Ver también

• Superespacio
• Supersimetría
• Supergeometría
• Colector graduado
• Formalismo de Batalin-Vilkovisky

Referencias

1. Alice Rogers , Supermanifolds: teoría y aplicaciones , World Scientific, (2007) ISBN  978-981-3203-21-1 (consulte el capítulo 1 )
2. Rogers, op. Cit. (Vea el Capítulo 8.)
3. supermanifold en nLab
4. Bryce DeWitt , Supermanifolds , (1984) Cambridge University Press ISBN 0521 42377 5 (Consulte el capítulo 2.) 
5. A. Jadczyk, K. Pilch, " Superespacios y supersimetrías ". Comm. Matemáticas. Phys. 78 (1980), núm. 3, págs. 373--390.
6. Batchelor, Marjorie (1979), "La estructura de las supervariedades", Transactions of the American Mathematical Society , 253 : 329–338, doi : 10.2307 / 1998201 , JSTOR 1998201 , MR 0536951  

• Joseph Bernstein, " Conferencias sobre supersimetría (notas de Dennis Gaitsgory) ", programa de teoría cuántica de campos en IAS: período de otoño
• A. Schwarz, " Geometría de la cuantificación de Batalin-Vilkovisky ", ArXiv hep-th / 9205088
• C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9 
• L. Mangiarotti, G. Sardanashfully , Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8 ( arXiv : 0910.0092 ) 

Enlaces externos

• Super manifolds: una encuesta incompleta en Manifold Atlas.