En la teoría de la probabilidad , el teorema del límite central establece que, en determinadas circunstancias, la distribución de probabilidad de la media escalada de una muestra aleatoria converge a una distribución normal a medida que el tamaño de la muestra aumenta hasta el infinito. Bajo supuestos más sólidos , el teorema de Berry-Esseen , o desigualdad de Berry-Esseen , da un resultado más cuantitativo, porque también especifica la velocidad a la que se produce esta convergencia al dar un límite al error máximo de aproximación entre la distribución normal y la distribución verdadera de la media muestral escalada. La aproximación se mide por elDistancia de Kolmogorov-Smirnov . En el caso de muestras independientes , la tasa de convergencia es n -1/2 , donde n es el tamaño de la muestra, y la constante se estima en términos de los terceros momentos absolutos normalizados .
Declaración del teorema
Los enunciados del teorema varían, ya que fue descubierto independientemente por dos matemáticos , Andrew C. Berry (en 1941) y Carl-Gustav Esseen (1942), quienes luego, junto con otros autores, lo refinaron repetidamente durante las décadas siguientes.
Sumandos distribuidos idénticamente
Una versión, sacrificando algo la generalidad en aras de la claridad, es la siguiente:
- Existe una constante positiva C tal que si X 1 , X 2 , ..., son iid variables aleatorias con E ( X 1 ) = 0, E ( X 1 2 ) = σ 2 > 0, y E (| X 1 | 3 ) = ρ <∞, [nota 1] y si definimos
- la media muestral , con F n la función de distribución acumulada de
- y Φ la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar , entonces para todo x y n ,
Es decir: dada una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , cada una con media cero y varianza positiva , si además el tercer momento absoluto es finito, entonces las funciones de distribución acumulada de la media muestral estandarizada y la distribución normal estándar difieren (verticalmente, en un gráfico) por no más de la cantidad especificada. Tenga en cuenta que el error de aproximación para todo n (y, por tanto, la tasa límite de convergencia para n indefinidos suficientemente grande) está acotado por el orden de n -1/2 .
Los valores calculados de la constante C han disminuido notablemente a lo largo de los años, desde el valor original de 7,59 de Esseen (1942) a 0,7882 de van Beek (1972) , luego 0,7655 de Shiganov (1986) , luego 0,7056 de Shevtsova (2007) , luego 0.7005 por Shevtsova (2008) , luego 0.5894 por Tyurin (2009) , luego 0.5129 por Korolev & Shevtsova (2010a) , luego 0.4785 por Tyurin (2010) . La revisión detallada se puede encontrar en los artículos Korolev & Shevtsova (2010a) y Korolev & Shevtsova (2010b) . La mejor estimación a partir de 2012[actualizar], C <0.4748, se sigue de la desigualdad
debido a Shevtsova (2011) , ya que σ 3 ≤ ρ y 0.33554 · 1.415 <0.4748. Sin embargo, si ρ ≥ 1.286σ 3 , entonces la estimación
que también se demuestra en Shevtsova (2011) , da una estimación superior aún más ajustada.
Esseen (1956) demostró que la constante también satisface el límite inferior
Sumandos distribuidos no idénticamente
- Sean X 1 , X 2 , ..., variables aleatorias independientes con E ( X i ) = 0, E ( X i 2 ) = σ i 2 > 0, y E (| X i | 3 ) = ρ i < ∞. Además, deja
- ser la n -ésima suma parcial normalizada . Denote F n la CDF de S n , y Φ la CDF de la distribución normal estándar . Por conveniencia denotar
- En 1941, Andrew C. Berry demostró que para todo n existe una constante absoluta C 1 tal que
- dónde
- Independientemente, en 1942, Carl-Gustav Esseen demostró que para todo n existe una constante absoluta C 0 tal que
- dónde
Es fácil asegurarse de que ψ 0 ≤ψ 1 . Debido a esta circunstancia, la desigualdad (3) se denomina convencionalmente desigualdad de Berry-Esseen, y la cantidad ψ 0 se denomina fracción de Lyapunov de tercer orden. Además, en el caso de que los sumandos X 1 , ..., X n tengan distribuciones idénticas
y así los límites establecidos por las desigualdades (1), (2) y (3) coinciden aparte de la constante.
Respecto a C 0 , obviamente, el límite inferior establecido por Esseen (1956) sigue siendo válido:
Los límites superiores para C 0 se redujeron posteriormente de la estimación original 7,59 debido a Esseen (1942) a (considerando sólo los resultados recientes) 0,9051 debido a Zolotarev (1967) , 0,7975 debido a van Beek (1972) , 0,7915 debido a Shiganov (1986). ) , 0.6379 y 0.5606 debido a Tyurin (2009) y Tyurin (2010) . A partir de 2011[actualizar]la mejor estimación es 0,5600 obtenida por Shevtsova (2010) .
Versión multidimensional
Al igual que con el teorema del límite central multidimensional , existe una versión multidimensional del teorema de Berry-Esseen. [1] [2]
Dejar Se independiente vectores aleatorios valorados cada uno con una media de cero. Escribir y asumir es invertible. Dejar ser un -dimensional gaussiano con la misma matriz de media y covarianza que . Luego, para todos los conjuntos convexos,
- ,
dónde es una constante universal y (la tercera potencia de la norma L 2 ).
La dependencia de se conjetura que es óptimo, pero podría no serlo. [2]
Ver también
- La desigualdad de Chernoff
- Serie de Edgeworth
- Lista de desigualdades
- Lista de teoremas matemáticos
- Desigualdad de concentración
Notas
- ^ Dado que las variables aleatorias se distribuyen de manera idéntica, X 2 , X 3 , ... todas tienen los mismos momentos que X 1 .
Referencias
- ^ Bentkus, Vidmantas. "Un tipo Lyapunov enlazado en R d ." Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones 49.2 (2005): 311–323.
- ↑ a b Raič, Martin (2019). "Un teorema multivariante de Berry - Esseen con constantes explícitas" . Bernoulli . 25 (4A): 2824–2853. arXiv : 1802.06475 . doi : 10.3150 / 18-BEJ1072 . ISSN 1350-7265 . S2CID 119607520 .
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enlaces externos
- Gut, Allan y Holst Lars. Carl-Gustav Esseen , consultado el 15 de marzo de 2004.
- "Desigualdad de Berry-Esseen" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]