En matemáticas , los polinomios de Bessel son una secuencia ortogonal de polinomios . Hay varias definiciones diferentes pero estrechamente relacionadas. La definición favorecida por los matemáticos viene dada por la serie (Krall & Frink, 1948)
Otra definición, favorecida por los ingenieros eléctricos, se conoce a veces como polinomios inversos de Bessel (ver Grosswald 1978, Berg 2000).
Los coeficientes de la segunda definición son los mismos que los de la primera pero en orden inverso. Por ejemplo, el polinomio de Bessel de tercer grado es
mientras que el polinomio de Bessel inverso de tercer grado es
El polinomio de Bessel inverso se utiliza en el diseño de filtros electrónicos de Bessel .
Definición en términos de funciones de Bessel
El polinomio de Bessel también se puede definir utilizando funciones de Bessel de las que el polinomio toma su nombre.
donde K n ( x ) es una función de Bessel modificada del segundo tipo , y n ( x ) es el polinomio ordinario y θ n ( x ) es el polinomio inverso (pág. 7 y 34 Grosswald 1978). Por ejemplo: [1]
Definición como función hipergeométrica
El polinomio de Bessel también se puede definir como una función hipergeométrica confluente (Dita, 2006)
El polinomio de Bessel inverso se puede definir como un polinomio de Laguerre generalizado :
de lo cual se deduce que también puede definirse como una función hipergeométrica:
donde (−2 n ) n es el símbolo de Pochhammer (factorial ascendente).
La inversión de los monomios está dada por
Función generadora
Los polinomios de Bessel, con índice desplazado, tienen la función generadora
Diferenciando con respecto a , cancelando , produce la función generadora de los polinomios
Recursividad
El polinomio de Bessel también se puede definir mediante una fórmula de recursividad:
y
Ecuación diferencial
El polinomio de Bessel obedece a la siguiente ecuación diferencial:
y
Forma explícita
En la literatura se ha sugerido una generalización de los polinomios de Bessel (Krall, Fink), como sigue:
los polinomios inversos correspondientes son
Para la función de ponderación
son ortogonales, por la relación
se cumple para m ≠ n y c una curva que rodea el punto 0.
Se especializan en los polinomios de Bessel para α = β = 2, en cuya situación ρ ( x ) = exp (−2 / x ).
Fórmula de Rodrigues para polinomios de Bessel
La fórmula de Rodrigues para los polinomios de Bessel como soluciones particulares de la ecuación diferencial anterior es:
donde un(α, β)
n son coeficientes de normalización.
Polinomios de Bessel asociados
De acuerdo con esta generalización tenemos la siguiente ecuación diferencial generalizada para polinomios de Bessel asociados:
dónde . Las soluciones son,
Los primeros cinco polinomios de Bessel se expresan como:
Ningún polinomio de Bessel puede factorizarse en polinomios de orden inferior con coeficientes estrictamente racionales. [2] Los cinco polinomios de Bessel inversos se obtienen invirtiendo los coeficientes. Equivalentemente,. Esto da como resultado lo siguiente: