En matemáticas , la transformada de Hankel expresa cualquier función dada f ( r ) como la suma ponderada de un número infinito de funciones de Bessel del primer tipo J ν ( kr ) . Las funciones de Bessel en la suma son todas del mismo orden ν, pero difieren en un factor de escala k a lo largo del eje r . El coeficiente necesario F ν de cada función de Bessel en la suma, en función del factor de escala k, constituye la función transformada. La transformada de Hankel es una transformada integral y fue desarrollada por primera vez por el matemáticoHermann Hankel . También se conoce como la transformada de Fourier-Bessel. Así como la transformada de Fourier para un intervalo infinito está relacionada con la serie de Fourier en un intervalo finito, la transformada de Hankel en un intervalo infinito está relacionada con la serie de Fourier-Bessel en un intervalo finito.
Definición
La transformada de orden de Hankelde una función f ( r ) viene dada por
dónde es la función de Bessel del primer tipo de orden con . La transformada inversa de Hankel de F ν ( k ) se define como
que se puede verificar fácilmente utilizando la relación de ortogonalidad que se describe a continuación.
Dominio de definición
La inversión de una transformada de Hankel de una función f ( r ) es válida en todos los puntos en los que f ( r ) es continua, siempre que la función esté definida en (0, ∞), sea continua por partes y de variación acotada en cada subintervalo finito en (0, ∞) y
Sin embargo, como la transformada de Fourier, el dominio puede extenderse mediante un argumento de densidad para incluir algunas funciones cuya integral anterior no es finita, por ejemplo .
Definición alternativa
Una definición alternativa dice que la transformada de Hankel de g ( r ) es [1]
Las dos definiciones están relacionadas:
Si , luego
Esto significa que, al igual que con la definición anterior, la transformada de Hankel definida de esta manera también es su propia inversa:
El dominio obvio ahora tiene la condición
pero esto se puede ampliar. De acuerdo con la referencia dada anteriormente, podemos tomar la integral como el límite ya que el límite superior va al infinito (una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue ), y de esta manera la transformada de Hankel y su trabajo inverso para todas las funciones en L 2 (0, ∞).
Transformando la ecuación de Laplace
La transformada de Hankel se puede utilizar para transformar y resolver la ecuación de Laplace expresada en coordenadas cilíndricas. Bajo la transformada de Hankel, el operador de Bessel se convierte en una multiplicación por. [2] En el caso axisimétrico, la ecuación diferencial parcial se transforma como
que es una ecuación diferencial ordinaria en la variable transformada .
Ortogonalidad
Las funciones de Bessel forman una base ortogonal con respecto al factor de ponderación r : [3]
El teorema de Plancherel y el teorema de Parseval
Si f ( r ) y g ( r ) son tales que sus transformadas de Hankel F ν ( k ) y G ν ( k ) están bien definidas, entonces el teorema de Plancherel establece
es un caso especial del teorema de Plancherel. Estos teoremas se pueden demostrar utilizando la propiedad de ortogonalidad.
Relación con la transformada multidimensional de Fourier
La transformada de Hankel aparece cuando se escribe la transformada de Fourier multidimensional en coordenadas hiperesféricas , razón por la cual la transformada de Hankel aparece a menudo en problemas físicos con simetría cilíndrica o esférica.
Considere una función de un -vector dimensional r . Su-La transformada de Fourier dimensional se define como
Para reescribirlo en coordenadas hiperesféricas, podemos usar la descomposición de una onda plana en -armónicos hipersféricos dimensionales : [4]
dónde y son los conjuntos de todos los ángulos hiperesféricos en el -espacio y -espacio. Esto da la siguiente expresión para el -Transformada de Fourier dimensional en coordenadas hiperesféricas:
Si nos expandimos y en armónicos hipersféricos:
la transformada de Fourier en coordenadas hipersféricas se simplifica a
Esto significa que las funciones con dependencia angular en forma de armónico hiperesférico lo retienen sobre la transformada de Fourier multidimensional, mientras que la parte radial sufre la transformada de Hankel (hasta algunos factores adicionales como ).
Casos especiales
Transformada de Fourier en dos dimensiones
Si una función bidimensional f ( r ) se expande en una serie multipolar ,
entonces su transformada bidimensional de Fourier viene dada por
dónde
es el -th orden transformada de Hankel de (en este caso juega el papel del momento angular, que fue denotado por en la sección anterior).
entonces su transformada tridimensional de Fourier viene dada por
dónde
es la transformada de Hankel de de orden .
Este tipo de transformada de Hankel de orden medio entero también se conoce como la transformada esférica de Bessel.
Transformada de Fourier en dimensiones d (caso radialmente simétrico)
Si una función d- dimensional f ( r ) no depende de coordenadas angulares, entonces su transformada d- dimensional de Fourier F ( k ) tampoco depende de coordenadas angulares y está dada por [5]
que es la transformada de Hankel de de orden hasta un factor de .
Funciones 2D dentro de un radio limitado
Si una función bidimensional f ( r ) se expande en una serie multipolar y los coeficientes de expansión f m son suficientemente suaves cerca del origen y cero fuera de un radio R , la parte radial f ( r ) / r m puede expandirse en un serie de potencia de 1- (r / R) ^ 2 :
tal que la transformada bidimensional de Fourier de f ( r ) se convierte en
donde la última igualdad se sigue de §6.567.1 de. [6] Los coeficientes de expansión f m, t son accesibles con técnicas de transformada discreta de Fourier : [7] si la distancia radial se escala con
los coeficientes g de la serie de Fourier-Chebyshev surgen como
Usando la re-expansión
produce f m, t expresado como sumas de g m, j .
Este es un sabor de las técnicas de transformación rápida de Hankel.
Relación con las transformadas de Fourier y Abel
La transformada de Hankel es un miembro del ciclo de operadores integrales de la FHA . En dos dimensiones, si definimos A como el operador de la transformada de Abel , F como el operador de la transformada de Fourier y H como el operador de la transformada de Hankel de orden cero, entonces el caso especial del teorema del corte de proyección para funciones circularmente simétricas establece que
En otras palabras, aplicar la transformada de Abel a una función unidimensional y luego aplicar la transformada de Fourier a ese resultado es lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este concepto se puede extender a dimensiones superiores.
Evaluación numérica
Un enfoque simple y eficiente para la evaluación numérica de la transformada de Hankel se basa en la observación de que se puede convertir en una convolución mediante un cambio logarítmico de variables [8].
En estas nuevas variables, la transformada de Hankel lee
dónde
Ahora la integral se puede calcular numéricamente con complejidad utilizando la transformada rápida de Fourier . El algoritmo se puede simplificar aún más mediante el uso de una expresión analítica conocida para la transformada de Fourier de : [9]
La elección óptima de parámetros. depende de las propiedades de , en particular su comportamiento asintótico en y .
Este algoritmo se conoce como "transformada Hankel cuasi-rápida", o simplemente "transformada Hankel rápida".
coincide con la expresión del operador de Laplace en coordenadas polares ( k , θ ) aplicada a una función esféricamente simétrica F 0 ( k ) .
La transformada de Hankel de los polinomios de Zernike son esencialmente funciones de Bessel (Noll 1976):
para incluso n - m ≥ 0 .
Ver también
Transformada de Fourier
Transformada integral
Abel transforma
Serie de Fourier-Bessel
Polinomio de Neumann
Transformaciones Y y H
Referencias
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