En matemáticas , un proceso de Bessel , llamado así por Friedrich Bessel , es un tipo de proceso estocástico .
Definicion formal
El proceso de Bessel de orden n es el proceso de valor real X dado por
donde || · || denota la norma euclidiana en R n y W es un proceso de Wiener n- dimensional ( movimiento browniano ) iniciado desde el origen. El proceso de Bessel n- dimensional es la solución a la ecuación diferencial estocástica
donde Z es un 1 -dimensional proceso de Wiener ( movimiento browniano ). Tenga en cuenta que este SDE tiene sentido para cualquier parámetro real(aunque el término de deriva es singular en cero). Dado que se asumió que W comenzó desde el origen, la condición inicial es X 0 = 0.
Notación
Una notación para el proceso de Bessel de dimensión n que comienza en cero es BES 0 ( n ) .
En dimensiones específicas
Para n ≥ 2, el proceso de Wiener n- dimensional es transitorio desde su punto de partida: con probabilidad uno , es decir, X t > 0 para todo t > 0. Sin embargo, es vecindario-recurrente para n = 2, lo que significa que con probabilidad 1, para cualquier r > 0, hay t arbitrariamente grande con X t < r ; por otro lado, es verdaderamente transitorio para n > 2, lo que significa que X t ≥ r para todo t suficientemente grande.
Para n ≤ 0, el proceso de Bessel generalmente se inicia en puntos distintos de 0, ya que la deriva a 0 es tan fuerte que el proceso se atasca en 0 tan pronto como llega a 0.
Relación con el movimiento browniano
Los procesos de Bessel de 0 y 2 dimensiones están relacionados con los tiempos locales del movimiento browniano a través de los teoremas de Ray-Knight . [1]
La ley de un movimiento browniano cerca del extremo x es la ley de un proceso de Bessel tridimensional (teorema de Tanaka).