En la teoría matemática de los procesos estocásticos , el tiempo local es un proceso estocástico asociado con procesos semimartingale como el movimiento browniano , que caracteriza la cantidad de tiempo que una partícula ha pasado en un nivel dado. El tiempo local aparece en varias fórmulas de integración estocástica , como la fórmula de Tanaka , si el integrando no es lo suficientemente suave. También se estudia en mecánica estadística en el contexto de campos aleatorios .
Definicion formal
Para una semimartingala continua de valor real , la hora local de en el punto es el proceso estocástico que se define informalmente por
dónde es la función delta de Dirac yes la variación cuadrática . Es una noción inventada por Paul Lévy . La idea básica es que es una medida (apropiadamente reescalada y parametrizada en el tiempo) de cuánto tiempo ha gastado en hasta el momento . Más rigurosamente, puede escribirse como el límite casi seguro
que se puede demostrar que siempre existe. Tenga en cuenta que en el caso especial del movimiento browniano (o más generalmente una difusión de valor real de la forma dónde es un movimiento browniano), el término simplemente se reduce a , lo que explica por qué se llama la hora local de a . Para un proceso de espacio de estado discreto, la hora local se puede expresar de forma más sencilla como [1]
Fórmula de Tanaka
La fórmula de Tanaka también proporciona una definición de la hora local para una semimartingala continua arbitraria. en [2]
Una forma más general fue probada independientemente por Meyer [3] y Wang; [4] la fórmula extiende el lema de Itô para funciones dos veces diferenciables a una clase de funciones más general. Si es absolutamente continuo con la derivada que es de variación limitada, entonces
dónde es la derivada izquierda.
Si es un movimiento browniano, entonces para cualquier el campo de los tiempos locales tiene una modificación que es como Hölder continua en con exponente , uniformemente para acotado y . [5] En general, tiene una modificación que es tan continua en y càdlàg en.
La fórmula de Tanaka proporciona la descomposición explícita de Doob-Meyer para el movimiento browniano reflectante unidimensional,.
Teoremas de Ray-Knight
El campo de los tiempos locales asociado a un proceso estocástico en un espacio es un tema bien estudiado en el área de campos aleatorios. Los teoremas del tipo de Ray-Knight relacionan el campo L t con un proceso gaussiano asociado .
En general, los teoremas del tipo Ray-Knight del primer tipo consideran el campo L t en un momento de impacto del proceso subyacente, mientras que los teoremas del segundo tipo están en términos de un tiempo de parada en el que el campo de las horas locales primero excede un valor dado .
Teorema del primer rayo-caballero
Sea ( B t ) t ≥ 0 un movimiento browniano unidimensional iniciado desde B 0 = a > 0, y ( W t ) t ≥0 un movimiento browniano bidimensional estándar W 0 = 0 ∈ R 2 . Defina el tiempo de parada en el que B llega por primera vez al origen,. Ray [6] y Knight [7] (independientemente) demostraron que
( 1 )
donde ( L t ) t ≥ 0 es el campo de los tiempos locales de ( B t ) t ≥ 0 , y la igualdad está en distribución en C [0, a ]. El proceso | W x | 2 se conoce como el proceso de Bessel al cuadrado .
Teorema del Segundo Rayo-Caballero
Sea ( B t ) t ≥ 0 un movimiento browniano unidimensional estándar B 0 = 0 ∈ R , y sea ( L t ) t ≥ 0 el campo asociado de tiempos locales. Sea T a la primera vez que la hora local en cero excede a > 0
Sea ( W t ) t ≥ 0 un movimiento browniano unidimensional independiente iniciado desde W 0 = 0, entonces [8]
( 2 )
De manera equivalente, el proceso (que es un proceso en la variable espacial ) es igual en distribución al cuadrado de un proceso de Bessel de dimensión 0 que se inició en, y como tal es Markoviano.
Teoremas generalizados de Ray-Knight
Los resultados del tipo Ray-Knight para procesos estocásticos más generales se han estudiado intensamente, y los enunciados analógicos de ( 1 ) y ( 2 ) son conocidos por procesos de Markov fuertemente simétricos.
Ver también
Notas
- ^ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Movimiento browniano y cálculo estocástico . Saltador.
- ^ Kallenberg (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Nueva York: Springer. págs. 428 –449. ISBN 0387949577.
- ^ Meyer, Paul-Andre (2002) [1976]. "Un cours sur les intégrales stochastiques". Séminaire de probabilités 1967–1980 . Lect. Notas en matemáticas. 1771 . págs. 174–329. doi : 10.1007 / 978-3-540-45530-1_11 . ISBN 978-3-540-42813-8.
- ^ Wang (1977). "Fórmula generalizada de Itô y funcionalidades aditivas del movimiento browniano". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete . 41 (2): 153-159. doi : 10.1007 / bf00538419 . S2CID 123101077 .
- ^ Kallenberg (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Nueva York: Springer. págs. 370 . ISBN 0387949577.
- ^ Ray, D. (1963). "Tiempos de estancia de un proceso de difusión" . Revista de Matemáticas de Illinois . 7 (4): 615–630. doi : 10.1215 / ijm / 1255645099 . Señor 0156383 . Zbl 0118.13403 .
- ^ Knight, FB (1963). "Caminatas al azar y un proceso de densidad de estancia de movimiento browniano" . Transacciones de la American Mathematical Society . 109 (1): 56–86. doi : 10.2307 / 1993647 . JSTOR 1993647 .
- ^ Marcus; Rosen (2006). Procesos de Markov, procesos gaussianos y tiempos locales . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 53 –56. ISBN 0521863007.
Referencias
- KL Chung y RJ Williams, Introducción a la integración estocástica , 2a edición, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8 .
- M. Marcus y J. Rosen, Markov Processes, Gaussian Processes, and Local Times , primera edición, 2006, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1
- P. Mortars y Y.Peres, Brownian Motion , primera edición, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8 .