Diagramas de Feynman |
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Aniquilación
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Dispersión
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En electrodinámica cuántica , la dispersión de Bhabha es el proceso de dispersión de electrones y positrones :
![e ^ {+} e ^ {-} \ flecha derecha e ^ {+} e ^ {-}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Hay dos diagramas de Feynman de orden principal que contribuyen a esta interacción: un proceso de aniquilación y un proceso de dispersión. La dispersión de Bhabha lleva el nombre del físico indio Homi J. Bhabha .
La tasa de dispersión de Bhabha se utiliza como monitor de luminosidad en colisionadores de electrones y positrones.
En orden de avance , la sección transversal diferencial promediada por espín para este proceso es
![{\frac {{\mathrm {d}}\sigma }{{\mathrm {d}}(\cos \theta )}}={\frac {\pi \alpha ^{2}}{s}}\left(u^{2}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)^{2}+\left({\frac {t}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {s}{t}}\right)^{2}\right)\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde s , t y u son las variables de Mandelstam ,
es la constante de estructura fina , y
es el ángulo de dispersión.
Esta sección transversal se calcula despreciando la masa del electrón en relación con la energía de colisión e incluyendo solo la contribución del intercambio de fotones. Ésta es una aproximación válida a energías de colisión pequeñas en comparación con la escala de masa del bosón Z , alrededor de 91 GeV; a energías más altas, la contribución del intercambio de bosones Z también se vuelve importante.
Variables de Mandelstam
En este artículo, las variables de Mandelstam están definidas por
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donde las aproximaciones son para el límite de alta energía (relativista).
Elementos de la matriz
Tanto el diagrama de dispersión como el de aniquilación contribuyen al elemento de la matriz de transición. Al hacer que k y k ' representen el cuatro momento del positrón, mientras que p y p' representan el cuatro momento del electrón, y al usar las reglas de Feynman, uno puede mostrar que los siguientes diagramas dan estos elementos de la matriz:
| | | Dónde usamos:
son las matrices Gamma ,
son los espinores de cuatro componentes para fermiones, mientras que
son los espinores de cuatro componentes para anti-fermiones (ver Cuatro espinores ). |
| (dispersión) | (aniquilación) | |
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Observe que existe una diferencia de signo relativo entre los dos diagramas.
Cuadrado de elemento de matriz
Para calcular la sección transversal no polarizada , se debe promediar los espines de las partículas entrantes ( s e- y s e + valores posibles) y sumar los espines de las partículas salientes. Es decir,
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Primero, calcula
:
= | | (dispersión) |
| | (interferencia) |
| | (interferencia) |
| | (aniquilación) |
Término de dispersión (canal t)
Magnitud al cuadrado de M
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| (el conjugado complejo cambiará de orden) | |
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| (mover términos que dependen del mismo impulso para estar uno al lado del otro) | |
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Suma sobre giros
A continuación, nos gustaría sumar los giros de las cuatro partículas. Dejar que s y s' sea el espín del electrón y R y R' sea el giro del positrón.
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| (ahora usa relaciones de completitud ) | |
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| (ahora usa Trace identities ) | |
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Ahora que es la forma exacta, en el caso de los electrones uno suele estar interesado en escalas de energía que superan con creces la masa del electrón. Si se ignora la masa del electrón se obtiene la forma simplificada:
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| (use las variables de Mandelstam en este límite relativista) |
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Término de aniquilación (canal s)
El proceso para encontrar el término de aniquilación es similar al anterior. Dado que los dos diagramas están relacionados cruzando la simetría , y las partículas de estado inicial y final son las mismas, es suficiente permutar los momentos, produciendo
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(Esto es proporcional a
dónde
es el ángulo de dispersión en el marco del centro de masa).
Solución
Evaluar el término de interferencia a lo largo de las mismas líneas y sumar los tres términos produce el resultado final
![{\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relaciones de completitud
Las relaciones de completitud para los cuatro espinores u y v son
![\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/+m\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/-m\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- dónde
(ver notación de barra de Feynman ) ![{\bar {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Rastrear identidades
Para simplificar la traza de las matrices gamma de Dirac , se deben usar identidades de trazas. Los tres utilizados en este artículo son:
- El rastro de cualquier producto de un número impar de
es cero ![\operatorname {Tr}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{{\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\operatorname {Tr}\left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\right)=4\left(\eta _{{\rho \mu }}\eta _{{\sigma \nu }}-\eta _{{\rho \sigma }}\eta _{{\mu \nu }}+\eta _{{\rho \nu }}\eta _{{\mu \sigma }}\right)\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Usando estos dos uno encuentra que, por ejemplo,
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| (los dos términos intermedios son cero debido a (1)) |
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| (use identidad (2) para el término de la derecha) |
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| (ahora use la identidad (3) para el término de la izquierda) |
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Bhabha dispersión se ha utilizado como una luminosidad del monitor en una cantidad de e + e - experimentos de física colisionador. La medición precisa de la luminosidad es necesaria para realizar mediciones precisas de las secciones transversales.
Se utilizó la dispersión Bhabha de ángulo pequeño para medir la luminosidad de la ejecución de 1993 del Stanford Large Detector (SLD), con una incertidumbre relativa de menos del 0,5%. [1]
Los colisionadores de electrones y positrones que operan en la región de las resonancias hadrónicas bajas (alrededor de 1 GeV a 10 GeV), como el Sincrotrón de Electrones de Beijing (BES) y los experimentos de la "fábrica B" de Belle y BaBar , utilizan Bhabha de ángulo grande dispersión como monitor de luminosidad. Para lograr la precisión deseada en el nivel de 0,1%, las mediciones experimentales deben compararse con un cálculo teórico que incluya correcciones radiativas del siguiente orden principal . [2] La medición de alta precisión de la sección transversal hadrónica total a estas bajas energías es una entrada crucial en el cálculo teórico del momento dipolar magnético anómalo del muón , que se utiliza para restringir la supersimetría y otros modelos de la física más allá del Estándar. Modelo .