Reglas de bioche

Las reglas de Bioche , formuladas por el matemático francés Charles Bioche [ fr ] (1859-1949), son reglas para ayudar en el cálculo de ciertas integrales indefinidas en las que el integrando contiene senos y cosenos .

A continuación, es una expresión racional en y . Para calcular , considere el integrando . Consideramos el comportamiento de todo este integrando, incluyendo la traslación y las reflexiones del eje t . Las traslaciones y reflexiones corresponden a las simetrías y periodicidades de las funciones trigonométricas básicas. ${\ Displaystyle f (t)}$ ${\ Displaystyle \ sin t}$ ${\ Displaystyle \ cos t}$ ${\ Displaystyle \ int f (t) \, dt}$ ${\ Displaystyle \ omega (t) = f (t) \, dt}$ ${\ textstyle dt}$

Debido a que las reglas 1 y 2 implican invertir el eje t , cambian el signo de dt y, por lo tanto, el comportamiento de ω bajo estas transformaciones difiere del de ƒ por un signo. Aunque las reglas se pueden establecer en términos de ƒ , expresarlas en términos de ω tiene una ventaja mnemotécnica, que es que elegimos el cambio de variables u ( t ) que tiene la misma simetría que ω .

Entonces es una función impar, pero bajo una reflexión del eje t sobre el origen, ω permanece igual. Es decir, ω actúa como una función par. Es lo mismo que la simetría del coseno, que es una función par, por lo que el mnemónico nos dice que usemos la sustitución (regla 1). Bajo esta sustitución, la integral se convierte en . El integrando que involucra funciones trascendentales se ha reducido a uno que involucra una función racional (una constante). El resultado es , que por supuesto es elemental y podría haberse hecho sin las reglas de Bioche. ${\ Displaystyle f (t) = \ sin t}$ ${\ Displaystyle u = \ cos t}$ ${\ Displaystyle - \ int du}$ ${\ Displaystyle -u + c = - \ cos t + c}$

tiene las mismas simetrías que la del ejemplo 1, por lo que usamos la misma sustitución . Entonces ${\ Displaystyle u = \ cos t}$

que se puede integrar usando fracciones parciales, ya que . El resultado es que ${\ Displaystyle {\ frac {1} {1-u ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {1 + u}} + {\ frac { 1} {1-u}} \ right)}$