En cálculo , una antiderivada , derivada inversa , función primitiva , integral primitiva o integral indefinida [Nota 1] de una función f es una función diferenciable F cuya derivada es igual a la función original f . Esto puede expresarse simbólicamente como F ' = f . [1] [2] El proceso de resolución de antiderivadas se llama antidiferenciación (o integración indefinida), y su operación opuesta se llama diferenciación , que es el proceso de encontrar una derivada. Antiderivadas a menudo se denotan por capitales letras romanas tales como F y G . [3]
Las antiderivadas están relacionadas con integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo : la integral definida de una función sobre un intervalo es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los puntos finales del intervalo.
En física , las antiderivadas surgen en el contexto del movimiento rectilíneo (por ejemplo, al explicar la relación entre posición , velocidad y aceleración ). [4] El equivalente discreto de la noción de antiderivada es antidiferencia .
Ejemplos de
La función es una antiderivada de , ya que la derivada de es , y dado que la derivada de una constante es cero ,tendrá un número infinito de antiderivadas, como, etc. Así, todas las antiderivadas de se puede obtener cambiando el valor de c en, donde c es una constante arbitraria conocida como constante de integración . [3] Esencialmente, las gráficas de las antiderivadas de una función dada son traslaciones verticales entre sí, con la ubicación vertical de cada gráfica dependiendo del valor c .
De manera más general, la función de potencia tiene antiderivada si n ≠ −1 , ysi n = −1 .
En física , la integración de la aceleración produce velocidad más una constante. La constante es el término de velocidad inicial que se perdería al tomar la derivada de la velocidad, porque la derivada de un término constante es cero. Este mismo patrón se aplica a otras integraciones y derivadas del movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.). [4]
Usos y propiedades
Las antiderivadas se pueden usar para calcular integrales definidas , usando el teorema fundamental del cálculo : si F es una antiderivada de la función integrable f en el intervalo, luego:
Debido a esto, cada una de las infinitas antiderivadas de una función dada f a veces se denomina "integral general" o "integral indefinida" de f , y se escribe usando el símbolo integral sin límites: [3]
Si F es una antiderivada de f , y la función f se define en algún intervalo, entonces cualquier otra antiderivada G de f difiere de F por una constante: existe un número c tal quepara todo x . c se llama constante de integración . Si el dominio de F es una unión disjunta de dos o más intervalos (abiertos), entonces se puede elegir una constante de integración diferente para cada uno de los intervalos. Por ejemplo
es la antiderivada más general de en su dominio natural
Toda función continua f tiene una antiderivada, y una antiderivada F viene dada por la integral definida de f con límite superior variable:
La variación del límite inferior produce otras antiderivadas (pero no necesariamente todas las posibles antiderivadas). Ésta es otra formulación del teorema fundamental del cálculo .
Hay muchas funciones cuyas antiderivadas, aunque existen, no se pueden expresar en términos de funciones elementales (como polinomios , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas y sus combinaciones). Ejemplos de estos son
De izquierda a derecha, los primeros cuatro son la función de error , la función de Fresnel , la integral trigonométrica y la función integral logarítmica . Para una discusión más detallada, vea también la teoría diferencial de Galois .
Técnicas de integración
Encontrar antiderivadas de funciones elementales es a menudo considerablemente más difícil que encontrar sus derivadas (de hecho, no existe un método predefinido para calcular integrales indefinidas). [5] Para algunas funciones elementales, es imposible encontrar una antiderivada en términos de otras funciones elementales. Para obtener más información, consulte funciones elementales e integrales no elementales .
Existen muchas propiedades y técnicas para encontrar antiderivadas. Estos incluyen, entre otros:
- La linealidad de la integración (que rompe integrales complicadas en otras más simples)
- Integración por sustitución , a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo natural
- El método de la regla de la cadena inversa (un caso especial de integración por sustitución)
- Integración por partes (para integrar productos de funciones)
- Integración de función inversa (una fórmula que expresa la antiderivada de la inversa f −1 de una función invertible y continua f , en términos de la antiderivada de f y de f −1 ).
- El método de las fracciones parciales en integración (que nos permite integrar todas las funciones racionales, fracciones de dos polinomios)
- El algoritmo de Risch
- Técnicas adicionales para integraciones múltiples (ver, por ejemplo , integrales dobles , coordenadas polares , el teorema jacobiano y de Stokes )
- Integración numérica (una técnica para aproximar una integral definida cuando no existe una antiderivada elemental, como en el caso de exp (- x 2 ) )
- Manipulación algebraica de integrando (para que se puedan utilizar otras técnicas de integración, como la integración por sustitución)
- Fórmula de Cauchy para integración repetida (para calcular la antiderivada n veces de una función)
Los sistemas de álgebra por computadora se pueden usar para automatizar parte o todo el trabajo involucrado en las técnicas simbólicas anteriores, lo cual es particularmente útil cuando las manipulaciones algebraicas involucradas son muy complejas o largas. Las integrales que ya se han derivado se pueden buscar en una tabla de integrales .
De funciones discontinuas
Las funciones no continuas pueden tener antiderivadas. Si bien aún quedan preguntas abiertas en este ámbito, se sabe que:
- Sin embargo, algunas funciones altamente patológicas con grandes conjuntos de discontinuidades pueden tener antiderivadas.
- En algunos casos, las antiderivadas de tales funciones patológicas pueden encontrarse mediante la integración de Riemann , mientras que en otros casos estas funciones no son integrables de Riemann.
Suponiendo que los dominios de las funciones son intervalos abiertos:
- Una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función f tenga una antiderivada es que f tenga la propiedad de valor intermedio . Es decir, si [ un , b ] es un subintervalo del dominio de f y y es cualquier número real entre f ( a ) y f ( b ) , entonces existe un c entre una y b tal que f ( c ) = y . Ésta es una consecuencia del teorema de Darboux .
- El conjunto de discontinuidades de f debe ser un conjunto escaso . Este conjunto también debe ser un conjunto F-sigma (ya que el conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser de este tipo). Además, para cualquier conjunto escaso de F-sigma, se puede construir alguna función f que tenga una antiderivada, que tenga el conjunto dado como su conjunto de discontinuidades.
- Si f tiene una antiderivada, está limitada a subintervalos finitos cerrados del dominio y tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue 0, entonces se puede encontrar una antiderivada por integración en el sentido de Lebesgue. De hecho, utilizando integrales más poderosas como la integral de Henstock-Kurzweil , cada función para la que existe una antiderivada es integrable, y su integral general coincide con su antiderivada.
- Si f tiene una antiderivada F en un intervalo cerrado, luego para cualquier elección de partición si uno elige puntos de muestra tal como se especifica por el teorema del valor medio , entonces los correspondientes suma de Riemann telescopios al valor.
- Sin embargo, si f no está acotada, o si f está acotada pero el conjunto de discontinuidades de f tiene una medida de Lebesgue positiva, una elección diferente de puntos muestrales puede dar un valor significativamente diferente para la suma de Riemann, sin importar cuán fina sea la partición. Vea el ejemplo 4 a continuación.
Algunos ejemplos
- La función
con no es continuo en pero tiene la antiderivada
- La función
- Si f ( x ) es la función en el ejemplo 1 y F es su antiderivada, yes un subconjunto denso contable del intervalo abierto entonces la función
- Dejar ser un subconjunto denso contable del intervalo abierto Considere la función estrictamente creciente continua en todas partes
para todos los valores x donde la serie converge, y que la gráfica de F ( x ) tiene rectas tangentes verticales en todos los demás valores de x . En particular, el gráfico tiene líneas tangentes verticales en todos los puntos del conjunto..
es más para todo x donde se define la derivada. De ello se deduce que la función inversa es diferenciable en todas partes y que
para todas las x del conjunto que es denso en el intervalo Por lo tanto g tiene una primitiva G . Por otro lado, no puede ser cierto que
- En los ejemplos 3 y 4, los conjuntos de discontinuidades de las funciones g son densos solo en un intervalo abierto finito Sin embargo, estos ejemplos pueden modificarse fácilmente para tener conjuntos de discontinuidades densas en toda la línea real. . Dejar
- Usando un método similar al del Ejemplo 5, se puede modificar g en el Ejemplo 4 para que desaparezca en todos los números racionales . Si se usa una versión ingenua de la integral de Riemann definida como el límite de las sumas de Riemann de la izquierda o la derecha sobre particiones regulares, se obtendrá que la integral de dicha función g sobre un intervaloes 0 cada vez que un y b son ambos racional, en lugar de. Por tanto, el teorema fundamental del cálculo fallará espectacularmente.
- Es posible que una función que tenga una antiderivada aún no sea integrable de Riemann. La derivada de la función de Volterra es un ejemplo.
Ver también
- Antiderivada (análisis complejo)
- Antiderivada formal
- Jackson integral
- Listas de integrales
- Integración simbólica
- Área
Notas
- ^ Las antiderivadas también se denominan integrales generales y, a veces, integrales . El último término es genérico y se refiere no solo a integrales indefinidas (antiderivadas), sino también a integrales definidas . Cuando la palabra integral se usa sin especificación adicional, se supone que el lector debe deducir del contexto si se refiere a una integral definida o indefinida. Algunos autores definen la integral indefinida de una función como el conjunto de sus infinitas antiderivadas posibles. Otros lo definen como un elemento seleccionado arbitrariamente de ese conjunto. Este artículo adopta el último enfoque. En los libros de texto de matemáticas de nivel A en inglés se puede encontrar el término primitivo completo : L. Bostock y S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; La solución de una ecuación diferencial que incluye la constante arbitraria se denomina solución general (o, a veces, primitiva completa) .
Referencias
- ^ Stewart, James (2008). Cálculo: principios trascendentales (6ª ed.). Brooks / Cole . ISBN 0-495-01166-5.
- ^ Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks / Cole . ISBN 0-547-16702-4.
- ^ a b c "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
- ^ a b "4.9: Antiderivadas" . LibreTexts de Matemáticas . 2017-04-27 . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
- ^ "Integración Antiderivada e Indefinida | Wiki Brillante de Matemáticas y Ciencias" . shiny.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
Otras lecturas
- Introducción al análisis real clásico , por Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (ver también )
- Ensayo histórico sobre la continuidad de los derivados por Dave L.Renfro
enlaces externos
- Wolfram Integrator : integración simbólica en línea gratuita con Mathematica
- Asistente matemático en la Web : cálculos simbólicos en línea. Permite a los usuarios integrarse en pequeños pasos (con pistas para el siguiente paso (integración por partes, sustitución, fracciones parciales, aplicación de fórmulas y otros), potenciado por Maxima
- Calculadora de funciones de WIMS
- Integral en HyperPhysics
- Antiderivadas e integrales indefinidas en la Khan Academy
- Calculadora integral en Symbolab
- La Antiderivada en el MIT
- Introducción a las integrales en SparkNotes
- Antiderivadas en Harvy Mudd College