Geometría biracional

En matemáticas , la geometría biracional es un campo de la geometría algebraica en el que el objetivo es determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas fuera de los subconjuntos de dimensiones inferiores. Esto equivale a estudiar mapeos dados por funciones racionales en lugar de polinomios; el mapa puede fallar en ser definido donde las funciones racionales tienen polos.

Un mapa racional de una variedad (entendida como irreductible ) a otra variedad , escrito como una flecha discontinua X ⇢ Y , se define como un morfismo de un subconjunto abierto no vacío a . Por definición de la topología de Zariski utilizada en geometría algebraica, un subconjunto abierto no vacío es siempre denso , de hecho, el complemento de un subconjunto de dimensiones inferiores. Concretamente, un mapa racional se puede escribir en coordenadas utilizando funciones racionales.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$

Un mapa biracional de X a Y es un mapa racional f : X ⇢ Y tal que hay un mapa racional Y ⇢ X inverso af . Un mapa biracional induce un isomorfismo de un subconjunto abierto no vacío de X a un subconjunto abierto no vacío de Y. En este caso, se dice que X e Y son biracionales o biracionales equivalentes . En términos algebraicos, dos variedades sobre un campo k son biracionales si y solo si sus campos de funciónson isomorfos como campos de extensión de k .

Un caso especial es un morfismo biracional f : X → Y , es decir, un morfismo biracional. Es decir, f se define en todas partes, pero su inverso puede no serlo. Típicamente, esto sucede porque un morfismo birracional contrae algunas subvariedades de X a puntos en Y .

Se dice que una variedad X es racional si es biracional para afinar el espacio (o equivalentemente, para el espacio proyectivo ) de alguna dimensión. La racionalidad es una propiedad muy natural: significa que X menos algún subconjunto de dimensiones inferiores puede identificarse con el espacio afín menos algún subconjunto de dimensiones inferiores.

Por ejemplo, el círculo con ecuación en el plano afín es una curva racional, porque hay un mapa racional f : ⇢ X dado por${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$

El círculo es biracionalmente equivalente a la línea . Un mapa biracional entre ellos es la proyección estereográfica , que se muestra aquí.