En matemáticas , en particular en el subcampo de la geometría algebraica , un mapa racional o mapeo racional es una especie de función parcial entre variedades algebraicas . Este artículo utiliza la convención de que las variedades son irreductibles .
Definición
Definicion formal
Formalmente, un mapa racional entre dos variedades es una clase de equivalencia de pares en el cual es un morfismo de variedades de un conjunto abierto no vacío a , y dos de esos pares y se consideran equivalentes si y coincidir en la intersección (esto es, en particular, vacuosamente cierto si la intersección está vacía, pero comose asume irreductible, esto es imposible). La prueba de que esto define una relación de equivalencia se basa en el siguiente lema:
- Si dos morfismos de variedades son iguales en algún conjunto abierto no vacío, entonces son iguales.
se dice que es biracional si existe un mapa racional que es su inverso, donde la composición se toma en el sentido anterior.
La importancia de los mapas racionales para la geometría algebraica está en la conexión entre tales mapas y mapas entre los campos de función de y . Incluso un examen superficial de las definiciones revela una similitud entre el de mapa racional y el de función racional; de hecho, una función racional es simplemente un mapa racional cuyo rango es la línea proyectiva. La composición de funciones nos permite entonces "retroceder" funciones racionales a lo largo de un mapa racional, de modo que un solo mapa racionalinduce un homomorfismo de campos. En particular, el siguiente teorema es central: el funtor de la categoría de variedades proyectivas con mapas racionales dominantes (sobre un campo base fijo, por ejemplo) a la categoría de extensiones de campo generadas finitamente del campo base con inclusión inversa de extensiones como morfismos, que asocia cada variedad a su campo de función y cada mapa al mapa asociado de campos de función, es una equivalencia de categorías .
Ejemplos de
Mapas racionales de espacios proyectivos
Hay un mapa racional enviando una proporción . Desde el puntono puede tener una imagen, este mapa es solo racional, y no un morfismo de variedades. De manera más general, existen mapas racionales enviando por enviando un -tupla a una -tupla olvidando las últimas coordenadas.
Inclusiones de subvariedades abiertas
En una variedad conectada , la inclusión de cualquier subvariedad abierta es una equivalencia bracional ya que las dos variedades tienen campos de función equivalentes. Es decir, toda función racionalpuede restringirse a una función racional y a la inversa, una función racional define una clase de equivalencia racional en . Un excelente ejemplo de este fenómeno es la equivalencia biracional de y , por eso .
Cubriendo espacios en subconjuntos abiertos
Cubrir espacios en subconjuntos abiertos de una variedad ofrece amplios ejemplos de mapas racionales que no son biracionales. Por ejemplo, el teorema de Belyi establece que toda curva algebraica admite un mapa que se ramifica en tres puntos. Entonces, hay un espacio de cobertura asociadoque define un morfismo racional dominante que no es biracional. Otra clase de ejemplos provienen de las curvas hiperelípticas que son cubiertas dobles deramificado en un número finito de puntos. Otra clase de ejemplos se dan tomando una hipersuperficie y restringir un mapa racional a . Esto le da una cobertura ramificada. Por ejemplo, la superficie cúbica dada por el lugar de fuga tiene un mapa racional para enviando . Este mapa racional se puede expresar como el grado extensión de campo
Resolución de singularidades
Uno de los ejemplos canónicos de un mapa biracional es la Resolución de singularidades . Sobre un campo de característica 0, cada variedad singular tiene una variedad no singular asociada con un mapa biracional . Este mapa tiene la propiedad de que es un isomorfismo en y la fibra sobre es un divisor de cruce normal. Por ejemplo, una curva nodal como es biracional para ya que topológicamente es una curva elíptica con uno de los círculos contraído. Entonces, el mapa biracional viene dado por normalización .
Equivalencia biracional
Se dice que dos variedades son biracionalmente equivalentes si existe un mapa biracional entre ellas; este teorema establece que la equivalencia bracional de variedades es idéntica al isomorfismo de sus campos funcionales como extensiones del campo base. Esto es algo más liberal que la noción de isomorfismo de variedades (que requiere un morfismo definido globalmente para presenciar el isomorfismo, no meramente un mapa racional), ya que existen variedades que son biracionales pero no isomórficas.
El ejemplo habitual es que es biracional para la variedad contenida en que consiste en el conjunto de puntos proyectivos tal que , pero no isomorfo. De hecho, dos líneas cualesquiera en se cruzan, pero las líneas en definido por y no puede intersecar ya que su intersección tendría todas las coordenadas cero. Para calcular el campo de función de pasamos a un subconjunto afín (que no cambia el campo, una manifestación del hecho de que un mapa racional depende solo de su comportamiento en cualquier subconjunto abierto de su dominio) en el que ; en el espacio proyectivo esto significa que podemos tomar y por lo tanto identificar este subconjunto con el afín -avión. Allí, el anillo de coordenadas de es
a través del mapa . Y el campo de las fracciones de este último es solo, isomorfo al de . Tenga en cuenta que en ningún momento producimos un mapa racional, aunque es posible seguir la prueba del teorema.
Ver también
Referencias
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, sección I.4.