En geometría algebraica y álgebra conmutativa , la topología de Zariski es una topología sobre variedades algebraicas , introducida principalmente por Oscar Zariski y luego generalizada para hacer del conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo un espacio topológico, llamado espectro del anillo.
La topología de Zariski permite utilizar herramientas de topología para estudiar variedades algebraicas, incluso cuando el campo subyacente no es un campo topológico . Esta es una de las ideas básicas de la teoría de esquemas , que permite construir variedades algebraicas generales uniendo variedades afines de una manera similar a la de la teoría de variedades , donde las variedades se construyen uniendo gráficos , que son subconjuntos abiertos de afines reales. espacios .
La topología de Zariski de una variedad algebraica es la topología cuyos conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. En el caso de una variedad algebraica sobre los números complejos , la topología de Zariski es, por tanto, más burda que la topología habitual, ya que todo conjunto algebraico está cerrado para la topología habitual.
La generalización de la topología de Zariski al conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo se deriva del Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre los puntos de una variedad afín definida sobre un campo algebraicamente cerrado y los ideales máximos del anillo de sus funciones regulares. . Esto sugiere definir la topología de Zariski en el conjunto de los ideales máximos de un anillo conmutativo como la topología tal que un conjunto de ideales máximos se cierra si y solo si es el conjunto de todos los ideales máximos que contienen un ideal dado. Otra idea básica de la teoría del esquema de Grothendieck es considerar como puntos , no sólo los puntos habituales correspondientes a ideales máximos, sino también todas las variedades algebraicas (irreductibles), que corresponden a ideales primos. Así, la topología de Zariski en el conjunto de ideales primos (espectro) de un anillo conmutativo es la topología tal que un conjunto de ideales primos se cierra si y solo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo.
Topología de variedades de Zariski
En la geometría algebraica clásica (es decir, la parte de la geometría algebraica en la que no se utilizan esquemas , que fueron introducidos por Grothendieck alrededor de 1960), la topología de Zariski se define en variedades algebraicas . [1] La topología de Zariski, definida en los puntos de la variedad, es la topología tal que los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. Como las variedades algebraicas más elementales son afines y proyectivas , es útil hacer más explícita esta definición en ambos casos. Suponemos que estamos trabajando sobre un campo k fijo, algebraicamente cerrado (en geometría clásica, k es casi siempre los números complejos ).
Variedades afines
Primero, definimos la topología en el espacio afín formado por las n -tuplas de elementos de k . La topología se define especificando sus conjuntos cerrados, en lugar de sus conjuntos abiertos, y estos se toman simplemente como todos los conjuntos algebraicos en Es decir, los conjuntos cerrados son los de la forma
donde S es cualquier conjunto de polinomios en n variables sobre k . Es una verificación sencilla para demostrar que:
- V ( S ) = V (( S )), donde ( S ) es el ideal generado por los elementos de S ;
- Para dos ideales cualesquiera de polinomios I , J , tenemos
Se sigue que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de los conjuntos V ( S ) también son de esta forma, de modo que estos conjuntos forman los conjuntos cerrados de una topología (de manera equivalente, sus complementos, denotados D ( S ) y llamados conjuntos abiertos principales , forman la topología en sí). Esta es la topología de Zariski en
Si X es un conjunto algebraico afín (irreducible o no), entonces la topología de Zariski en él se define simplemente como la topología subespacial inducida por su inclusión en algunos De forma equivalente, se puede comprobar que:
- Los elementos del anillo de coordenadas afines
actúan como funciones en X al igual que los elementos de actuar como funciones en ; aquí, I (X) es el ideal de todos los polinomios de fuga en X .
- Para cualquier conjunto de polinomios S , sea T el conjunto de sus imágenes en A (X) . Entonces el subconjunto de X
(estas notaciones no son estándar) es igual a la intersección con X de V (S) .
Esto establece que la ecuación anterior, claramente una generalización de la anterior, define la topología de Zariski en cualquier variedad afín.
Variedades proyectivas
Recuerde que el espacio proyectivo n - dimensional se define como el conjunto de clases de equivalencia de puntos distintos de cero en identificando dos puntos que se diferencian por un múltiplo escalar en k . Los elementos del anillo polinomial no son funciones en porque cualquier punto tiene muchos representantes que producen diferentes valores en un polinomio; sin embargo, para polinomios homogéneos, la condición de tener un valor cero o distinto de cero en cualquier punto proyectivo dado está bien definida, ya que el escalar tiene múltiples factores fuera del polinomio. Por lo tanto, si S es cualquier conjunto de polinomios homogéneos, podemos hablar razonablemente de
Se pueden establecer los mismos hechos que antes para estos conjuntos, excepto que la palabra "ideal" debe ser reemplazada por la frase " ideal homogéneo ", de modo que V ( S ), para conjuntos S de polinomios homogéneos, defina una topología enComo se indicó anteriormente, los complementos de estos conjuntos se denominan D ( S ) o, si es probable que se produzca confusión, D ′ ( S ).
La topología proyectiva de Zariski se define para conjuntos algebraicos proyectivos tal como se define el afín para conjuntos algebraicos afines, tomando la topología subespacial. De manera similar, se puede mostrar que esta topología está definida intrínsecamente por conjuntos de elementos del anillo de coordenadas proyectivo, por la misma fórmula que la anterior.
Propiedades
Un hecho muy útil acerca de estas topologías es que podemos exhibir una base para ellas que consiste en elementos particularmente simples, a saber, el D ( f ) para polinomios individuales (o para variedades proyectivas, polinomios homogéneos) f . De hecho, que estos forman una base se sigue de la fórmula para la intersección de dos conjuntos cerrados de Zariski dada anteriormente (aplíquela repetidamente a los principales ideales generados por los generadores de ( S )). Estos se denominan conjuntos abiertos distinguidos o básicos .
Según el teorema de la base de Hilbert y algunas propiedades elementales de los anillos noetherianos , cada anillo de coordenadas afín o proyectivo es noetheriano. Como consecuencia, los espacios afines o proyectivos con la topología de Zariski son espacios topológicos noetherianos , lo que implica que cualquier subconjunto cerrado de estos espacios es compacto .
Sin embargo, a excepción de los conjuntos algebraicos finitos, ningún conjunto algebraico es nunca un espacio de Hausdorff . En la literatura topológica antigua se consideraba que "compacto" incluía la propiedad de Hausdorff, y esta convención todavía se respeta en geometría algebraica; por lo tanto, la compacidad en el sentido moderno se llama "cuasicompactancia" en geometría algebraica. Sin embargo, dado que cada punto ( a 1 , ..., a n ) es el conjunto cero de los polinomios x 1 - a 1 , ..., x n - a n , los puntos están cerrados y, por lo tanto, cada variedad satisface el T 1 axioma .
Cada mapa regular de variedades es continuo en la topología de Zariski. De hecho, la topología de Zariski es la topología más débil (con la menor cantidad de conjuntos abiertos) en la que esto es cierto y en la que los puntos están cerrados. Esto se verifica fácilmente observando que los conjuntos cerrados de Zariski son simplemente las intersecciones de las imágenes inversas de 0 por las funciones polinomiales, consideradas como mapas regulares en
Espectro de un anillo
En la geometría algebraica moderna, una variedad algebraica a menudo se representa por su esquema asociado , que es un espacio topológico (equipado con estructuras adicionales) que es localmente homeomórfico al espectro de un anillo . [2] El espectro de un anillo conmutativo A , denominado Spec ( A ) , es el conjunto de los ideales primos de A , equipados con la topología de Zariski , para los cuales los conjuntos cerrados son los conjuntos
donde yo es un ideal.
Para ver la conexión con la imagen clásica, tenga en cuenta que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un campo algebraicamente cerrado), se sigue del Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de V ( S ) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas ( a 1 , ..., a n ) tal que el ideal generado por los polinomios x 1 - a 1 , ..., x n - a n contiene S ; además, estos son ideales máximos y por el "débil" Nullstellensatz, un ideal de cualquier anillo de coordenadas afines es máximo si y sólo si es de esta forma. Por lo tanto, V ( S ) es "el mismo como" los ideales maximales que contienen S . La innovación de Grothendieck al definir Spec fue reemplazar los ideales máximos con todos los ideales principales; en esta formulación es natural generalizar simplemente esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.
Otra forma, tal vez más similar a la original, de interpretar la definición moderna es darse cuenta de que los elementos de A en realidad pueden considerarse funciones de los ideales primarios de A ; a saber, como las funciones de Spec A . Simplemente, cualquier ideal primo P tiene un campo de residuos correspondiente , que es el campo de fracciones del cociente A / P , y cualquier elemento de A tiene una reflexión en este campo de residuos. Además, los elementos que son realmente en P son, precisamente, aquellos cuya reflexión se anula en P . Entonces, si pensamos en el mapa, asociado a cualquier elemento a de A :
("evaluación de a "), que asigna a cada punto su reflejo en el campo de residuos allí, como una función en la Especificación A (cuyos valores, ciertamente, se encuentran en diferentes campos en diferentes puntos), entonces tenemos
De manera más general, V ( I ) para cualquier ideal I es el conjunto común en el que todas las "funciones" en I desaparecen, que es formalmente similar a la definición clásica. De hecho, están de acuerdo en el sentido de que cuando A es el anillo de polinomios sobre algún campo k algebraicamente cerrado , los ideales máximos de A se identifican (como se discutió en el párrafo anterior) con n -tuplas de elementos de k , sus campos de residuos son solo k , y los mapas de "evaluación" son en realidad una evaluación de polinomios en las n tuplas correspondientes . Dado que, como se muestra arriba, la definición clásica es esencialmente la definición moderna con solo los ideales máximos considerados, esto muestra que la interpretación de la definición moderna como "conjuntos cero de funciones" concuerda con la definición clásica donde ambos tienen sentido.
Así como Spec reemplaza las variedades afines, la construcción Proj reemplaza las variedades proyectivas en la geometría algebraica moderna. Al igual que en el caso clásico, para pasar de la definición afín a la proyectiva solo necesitamos reemplazar "ideal" por "ideal homogéneo", aunque hay una complicación que involucra el "ideal máximo irrelevante", que se discute en el artículo citado.
Ejemplos de
- Spec k , el espectro de un campo k es el espacio topológico con un elemento.
- Espec ℤ, el espectro de los enteros tiene un punto cerrado para cada número primo p correspondiente al ideal máximo ( p ) ⊂ ℤ, y un punto genérico no cerrado (es decir, cuyo cierre es todo el espacio) correspondiente al ideal cero (0). Entonces, los subconjuntos cerrados de Spec ℤ son precisamente el espacio completo y las uniones finitas de puntos cerrados.
- Spec k [ t ], el espectro del anillo polinomial sobre un campo k : se sabe que dicho anillo polinomial es un dominio ideal principal y los polinomios irreducibles son los elementos primos de k [ t ]. Si k es algebraicamente cerrado , por ejemplo el campo de números complejos , un polinomio no constante es irreducible si y solo si es lineal, de la forma t - a , para algún elemento a de k . Entonces, el espectro consta de un punto cerrado para cada elemento a de k y un punto genérico, correspondiente al ideal cero, y el conjunto de puntos cerrados es homeomorfo con la línea afín k equipada con su topología de Zariski. Debido a este homeomorfismo, algunos autores denominan línea afín al espectro de k [ t ]. Si k no es algebraicamente cerrado, por ejemplo, el campo de los números reales , la imagen se vuelve más complicada debido a la existencia de polinomios irreducibles no lineales. Por ejemplo, el espectro de ℝ [ t ] consta de los puntos cerrados ( x - a ), para a en ℝ, los puntos cerrados ( x 2 + px + q ) donde p , q están en ℝ y con discriminante negativo p 2 - 4 q <0, y finalmente un punto genérico (0). Para cualquier campo, los subconjuntos cerrados de Spec k [ t ] son uniones finitas de puntos cerrados y el espacio completo. (Esto se desprende de la discusión anterior para campos algebraicamente cerrados. La prueba del caso general requiere algo de álgebra conmutativa , a saber, el hecho de que la dimensión de Krull de k [ t ] es uno; véase el principal teorema ideal de Krull ).
Propiedades
El cambio más dramático en la topología de la imagen clásica a la nueva es que los puntos ya no están necesariamente cerrados; al ampliar la definición, Grothendieck introdujo puntos genéricos , que son los puntos con cierre máximo, es decir, los ideales primos mínimos . Los puntos cerrados corresponden a los ideales maximales de A . Sin embargo, el espectro y el espectro proyectivo siguen siendo espacios T 0 : dados dos puntos P , Q , que son ideales primos de A , al menos uno de ellos, digamos P , no contiene al otro. Entonces D ( Q ) contiene P , pero, por supuesto, no Q .
Al igual que en la geometría algebraica clásica, cualquier espectro o espectro proyectivo es (cuasi) compacto, y si el anillo en cuestión es noetheriano, entonces el espacio es un espacio noetheriano. Sin embargo, estos hechos son contradictorios: normalmente no esperamos que los conjuntos abiertos, aparte de los componentes conectados , sean compactos, y para variedades afines (por ejemplo, el espacio euclidiano) ni siquiera esperamos que el espacio en sí sea compacto. Este es un ejemplo de la inadecuación geométrica de la topología de Zariski. Grothendieck resolvió este problema definiendo la noción de propiedad de un esquema (en realidad, de un morfismo de esquemas), que recupera la idea intuitiva de compacidad: Proj es apropiado, pero Spec no lo es.
Ver también
- Espectro de un anillo
- Espacio espectral
Referencias
- ^ Mumford, David (1999) [1967], El libro rojo de variedades y esquemas , Lecture Notes in Mathematics, 1358 (ampliado, Incluye Michigan Lectures (1974) on Curves and his Jacobians ed.), Berlín, Nueva York: Springer- Verlag , doi : 10.1007 / b62130 , ISBN 978-3-540-63293-1, MR 1748380
- ^ Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3 ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN 9780471433347.
Otras lecturas
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052
- Todd Rowland. "Topología de Zariski" . MathWorld .