Superficie bolza

En matemáticas , la superficie de Bolza , alternativamente, la curva algebraica compleja de Bolza (introducida por Oskar Bolza  ( 1887 )), es una superficie compacta de Riemann del género con el orden más alto posible del grupo de automorfismo conformal en este género, a saber, de orden 48 (el grupo lineal general de matrices sobre el campo finito ). El grupo de automorfismo completo (incluidas las reflexiones) es el producto semidirecto de orden 96. Se puede obtener un modelo afín para la superficie de Bolza como el lugar geométrico de la ecuación${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)}$${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

en . La superficie de Bolza es la suave terminación de la curva afín. De todas las superficies hiperbólicas de género , la superficie de Bolza maximiza la longitud de la sístole ( Schmutz 1993 ). Como superficie de Riemann hiperelíptica , surge como la doble cubierta ramificada de la esfera de Riemann, con un lugar de ramificación en los seis vértices de un octaedro regular inscrito en la esfera, como puede verse fácilmente en la ecuación anterior.${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle 2}$

La superficie de Bolza ha atraído la atención de los físicos, ya que proporciona un modelo relativamente simple para el caos cuántico ; en este contexto, se suele denominar modelo Hadamard-Gutzwiller . ^[1] La teoría espectral del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones en la superficie de Bolza es de interés tanto para matemáticos como para físicos, ya que se conjetura que la superficie maximiza el primer valor propio positivo del Laplaciano entre todas las superficies compactas y cerradas de Riemann de género con curvatura negativa constante .${\displaystyle 2}$

Superficie triangular

El mosaico de la superficie de Bolza por dominios de reflexión es un cociente del mosaico octagonal bisecado de orden 3 .

El dominio fundamental de la superficie de Bolza en el disco de Poincaré; se identifican los lados opuestos.

La superficie de Bolza es una superficie triangular; consulte el triángulo de Schwarz . Más específicamente, el grupo fucsiano que define la superficie de Bolza es un subgrupo del grupo generado por reflejos en los lados de un triángulo hiperbólico con ángulos . El grupo de isometrías preservadoras de orientación es un subgrupo del subgrupo índice -dos del grupo de reflexiones, que consiste en productos de un número par de reflexiones, que tiene una presentación abstracta en términos de generadores y relaciones , así como . El grupo fucsiano que define la superficie de Bolza es también un subgrupo del grupo del triángulo (3,3,4) , que es un subgrupo del índice 2 en el${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (2,3,8)}$grupo triangular. El grupo no tiene una realización en términos de álgebra de cuaterniones, pero el grupo sí.${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle (3,3,4)}$

Bajo la acción de la disco de Poincaré , el dominio fundamental de la superficie Bolza es un octógono regular con ángulos y esquinas en${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},}$

donde . Los lados opuestos del octágono se identifican bajo la acción del grupo fucsiano. Sus generadores son las matrices${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},}$

donde y , junto con sus inversas. Los generadores satisfacen la relación${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

Estos generadores están conectados al espectro de longitud , lo que proporciona todas las longitudes posibles de los bucles geodésicos. La longitud más corta se llama sístole de la superficie. La sístole de la superficie de Bolza es

${\displaystyle \ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.}$

El elemento del espectro de longitud para la superficie de Bolza está dado por${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle \ell _{n}}$

${\displaystyle \ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),}$

donde pasa por los enteros positivos (pero omitiendo 4, 24, 48, 72, 140 y varios valores superiores) ( Aurich, Bogomolny y Steiner 1991 ) y donde es el único entero impar que minimiza${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \vert m-n{\sqrt {2}}\vert .}$

Es posible obtener una forma cerrada equivalente de la sístole directamente del grupo de triángulos. Existen fórmulas para calcular las longitudes de los lados de un (2,3,8) triángulos explícitamente. La sístole es igual a cuatro veces la longitud del lado de la longitud medial en un triángulo (2, 3, 8), es decir,

${\displaystyle \ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.}$

Las longitudes geodésicas también aparecen en las coordenadas Fenchel-Nielsen de la superficie. Un conjunto de coordenadas de Fenchel-Nielsen para una superficie del género 2 consta de tres pares, cada par es una longitud y una torsión. Quizás el conjunto de coordenadas más simple para la superficie de Bolza es dónde .${\displaystyle \ell _{n}}$${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969}$

También hay un conjunto "simétrico" de coordenadas , donde las tres longitudes son la sístole y las tres torsiones están dadas por ^[2]${\displaystyle (\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)}$${\displaystyle \ell _{1}}$

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.}$

Simetrías de la superficie

Los cuatro generadores del grupo de simetría de la superficie de Bolza

El dominio fundamental de la superficie de Bolza es un octágono regular en el disco de Poincaré; las cuatro acciones simétricas que generan el grupo de simetría (completo) son:

• R - rotación de orden 8 alrededor del centro del octágono;
• S - reflejo en la línea real;
• T - reflejo en el lado de uno de los 16 (4,4,4) triángulos que forman el octágono en forma de mosaico;
• U - rotación de orden 3 alrededor del centro de un triángulo (4,4,4).

Estos se muestran con líneas en negrita en la figura adyacente. Satisfacen el siguiente conjunto de relaciones:

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RTR^{3}T=e,\,UR=R^{7}U^{2},\,U^{2}R=STU,\,US=SU^{2},\,UT=RSU\rangle ,}$

donde está la acción trivial (identidad). Se puede usar este conjunto de relaciones en GAP para recuperar información sobre la teoría de representación del grupo. En particular, hay cuatro representaciones irreductibles unidimensionales, dos bidimensionales, cuatro tridimensionales y tres tetradimensionales, y${\displaystyle e}$

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96}$

como se esperaba.

Teoría espectral

Gráficos de las tres funciones propias correspondientes al primer valor propio positivo de la superficie de Bolza. Las funciones son cero en las líneas celestes. Estos gráficos se produjeron utilizando FreeFEM ++ .

Aquí, la teoría espectral se refiere al espectro de la laplaciana, . El primer espacio propio (es decir, el espacio propio correspondiente al primer valor propio positivo) de la superficie de Bolza es tridimensional y el segundo, de cuatro dimensiones ( Cook 2018 ), ( Jenni 1981 ). Se cree que la investigación de las perturbaciones de las líneas nodales de funciones en el primer espacio propio en el espacio de Teichmüller producirá el resultado conjeturado en la introducción. Esta conjetura se basa en extensos cálculos numéricos de valores propios de la superficie y otras superficies del género 2. En particular, el espectro de la superficie de Bolza se conoce con una precisión muy alta ( Strohmaier & Uski 2013${\displaystyle \Delta }$). La siguiente tabla muestra los primeros diez valores propios positivos de la superficie de Bolza.

Cálculos numéricos de los primeros diez valores propios positivos de la superficie de Bolza

Valor propio	Valor numérico	Multiplicidad
${\displaystyle \lambda _{0}}$	0	1
${\displaystyle \lambda _{1}}$	3.8388872588421995185866224504354645970819150157	3
${\displaystyle \lambda _{2}}$	5.353601341189050410918048311031446376357372198	4
${\displaystyle \lambda _{3}}$	8.249554815200658121890106450682456568390578132	2
${\displaystyle \lambda _{4}}$	14.72621678778883204128931844218483598373384446932	4
${\displaystyle \lambda _{5}}$	15.04891613326704874618158434025881127570452711372	3
${\displaystyle \lambda _{6}}$	18.65881962726019380629623466134099363131475471461	3
${\displaystyle \lambda _{7}}$	20.5198597341420020011497712606420998241440266544635	4
${\displaystyle \lambda _{8}}$	23.0785584813816351550752062995745529967807846993874	1
${\displaystyle \lambda _{9}}$	28.079605737677729081562207945001124964945310994142	3
${\displaystyle \lambda _{10}}$	30.833042737932549674243957560470189329562655076386	4

El determinante espectral y la energía de Casimir de la superficie de Bolza son${\displaystyle \zeta (-1/2)}$

${\displaystyle \det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557}$

y

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383}$

respectivamente, donde se cree que todos los lugares decimales son correctos. Se conjetura que el determinante espectral se maximiza en el género 2 para la superficie de Bolza.

Álgebra de cuaternión

Siguiendo a MacLachlan y Reid, el álgebra de cuaterniones se puede tomar como el álgebra generada como un álgebra asociativa por los generadores i, j y relaciones ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,}$

con una elección adecuada de un pedido .

Ver también

• Curva hiperelíptica
• Klein cuartico
• Trae la curva
• Superficie Macbeath
• Primer triplete de Hurwitz

Referencias

• Bolza, Oskar (1887), "Sobre la séxtica binaria con transformaciones lineales en ellos mismos", American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70, doi : 10.2307 / 2369402 , JSTOR  2369402
• Katz, M .; Sabourau, S. (2006). "Una desigualdad sistólica óptima para las métricas CAT (0) en el género dos". Pacific J. Math. 227 (1): 95–107. arXiv : math.DG / 0501017 . doi : 10.2140 / pjm.2006.227.95 . S2CID  16510851 .
• Schmutz, P. (1993). "Superficies de Riemann con la geodésica más corta de longitud máxima". GAFA . 3 (6): 564–631. doi : 10.1007 / BF01896258 . S2CID  120508826 .
• Aurich, R .; Bogomolny, EB; Steiner, F. (1991). "Órbitas periódicas en el octágono hiperbólico regular". Physica D: Fenómenos no lineales . 48 (1): 91–101. Código bibliográfico : 1991PhyD ... 48 ... 91A . doi : 10.1016 / 0167-2789 (91) 90053-C .
• Cook, J. (2018). Propiedades de los valores propios en superficies de Riemann con grandes grupos de simetría (tesis doctoral, inédita). Universidad de Loughborough.
• Jenni, F. (1981). Über das Spektrum des Laplace-Operators auf einer Schar kompakter Riemannscher Flächen (tesis doctoral). Universidad de Basilea. OCLC  45934169 .
• Strohmaier, A .; Uski, V. (2013). "Un algoritmo para el cálculo de valores propios, funciones zeta espectrales y determinantes zeta en superficies hiperbólicas". Comunicaciones en Física Matemática . 317 (3): 827–869. arXiv : 1110.2150 . Código bibliográfico : 2013CMaPh.317..827S . doi : 10.1007 / s00220-012-1557-1 . S2CID  14305255 .
• Maclachlan, C .; Reid, A. (2003). La aritmética de los 3 distribuidores hiperbólicos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 219 . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-98386-4.

Específico

1. Aurich, R .; Sieber, M .; Steiner, F. (1 de agosto de 1988). "Caos cuántico del modelo Hadamard-Gutzwiller" . Cartas de revisión física . 61 (5): 483–487. Código Bibliográfico : 1988PhRvL..61..483A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.61.483 . PMID 10039347 . 
2. Strohmaier, Alexander (2017). Girouard, Alexandre (ed.). "Compuración de valores propios, funciones zeta espectrales y determinantes zeta en superficies hiperbólicas". Matemáticas contemporáneas . Montreal: Centre de Recherches Mathématiques y American Mathematical Society. 700 : 194. doi : 10.1090 / conm / 700 . ISBN 9781470426651.