En matemáticas , el grupo de automorfismos de un objeto X es el grupo que consiste en automorfismos de X . Por ejemplo, si X es un espacio vectorial de dimensión finita , entonces el grupo de automorfismo de X es el grupo lineal general de X , el grupo de transformaciones lineales invertibles de X a sí mismo.
Especialmente en contextos geométricos, un grupo de automorfismo también se denomina grupo de simetría . Un subgrupo de un grupo de automorfismo se denomina grupo de transformación (especialmente en la literatura antigua).
Ejemplos de
- El grupo de automorfismos de un conjunto X es precisamente el grupo simétrico de X .
- Un homomorfismo de grupo al grupo de automorfismo de un conjunto X equivale a una acción de grupo en X : de hecho, cada acción G izquierda en un conjunto X determinay, a la inversa, cada homomorfismo define una acción por .
- Dejar ser dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad yel conjunto de todas las biyecciones . Luego, que es un grupo simétrico (ver arriba), actúa sobre de izquierda libre y transitivamente ; es decir,es un torsor para(cf. # En teoría de categorías ).
- El grupo de automorfismo de un grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a con el isomorfismo dado por . [1] En particular,es un grupo abeliano .
- El grupo de automorfismo de una extensión de campo. es el grupo que consiste en automorfismos de campo de L que fijan K . Si la extensión del campo es Galois , el grupo de automorfismo se denomina grupo de Galois de la extensión del campo.
- El grupo automorphism de la proyectiva n -espacio sobre un campo k es el grupo lineal proyectiva [2]
- El grupo de automorfismos de un álgebra de Lie real de dimensión finita tiene la estructura de un grupo de Lie (real) (de hecho, es incluso un grupo algebraico lineal : ver más abajo). Si G es un grupo de Lie con álgebra de Lie, entonces el grupo de automorfismo de G tiene una estructura de un grupo de Lie inducida a partir del grupo de automorfismo de. [3] [4]
- Deje que P sea un finitamente generado módulo proyectivo sobre un anillo R . Entonces hay una incrustación , único hasta los automorfismos internos . [5]
En teoría de categorías
Los grupos de automorfismo aparecen de forma muy natural en la teoría de categorías .
Si X es un objeto en una categoría, entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo que consiste en todos los morfismos invertibles de X a sí mismo. Es el grupo de unidades de la monoid endomorphism de X . (Para ver algunos ejemplos, consulte PROP .)
Si son objetos en alguna categoría, entonces el conjunto de todo es una izquierda - torsor . En términos prácticos, esto dice que una elección diferente de un punto base de difiere inequívocamente por un elemento de , o que cada elección de un punto base es precisamente una elección de una trivialización del torsor.
Si y son objetos en categorías y , y si es un mapeo de functores a , luego induce un homomorfismo grupal , ya que asigna morfismos invertibles a morfismos invertibles.
En particular, si G es un grupo visto como una categoría con un solo objeto * o, de manera más general, si G es un grupoide, entonces cada funtor, C una categoría, se llama acción o representación de G en el objeto, o los objetos . Entonces se dice que esos objetos son-objetos (ya que son actuadas por ); cf. S {\ Displaystyle \ mathbb {S}} -objeto . Si es una categoría de módulo como la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces -los objetos también se llaman -módulos.
Functor de grupo de automorfismo
Dejar ser un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k que está equipado con alguna estructura algebraica (es decir, M es un álgebra de dimensión finita sobre k ). Puede ser, por ejemplo, un álgebra asociativa o un álgebra de Lie .
Ahora, considere k - mapas lineales que conservan la estructura algebraica: forman un subespacio vectorial de . El grupo unitario de es el grupo de automorfismo . Cuando se elige una base en M ,es el espacio de matrices cuadradas yes el conjunto cero de algunas ecuaciones polinomiales , y la invertibilidad se describe nuevamente mediante polinomios. Por eso,es un grupo algebraico lineal sobre k .
Ahora, las extensiones de base aplicadas a la discusión anterior determinan un functor: [6] es decir, para cada anillo conmutativo R sobre k , considere los mapas lineales R preservando la estructura algebraica: denotarla por . Entonces el grupo unitario del anillo de matrizsobre R es el grupo de automorfismo y es un funtor de grupo : un funtor de la categoría de anillos conmutativos sobre k a la categoría de grupos . Aún mejor, está representado por un esquema (ya que los grupos de automorfismo se definen mediante polinomios): este esquema se llama esquema de grupo de automorfismo y se denota por.
Sin embargo, en general, un funtor de grupo de automorfismo puede no estar representado por un esquema.
Ver también
- Grupo de automorfismo externo
- Estructura de niveles , un truco para matar a un grupo de automorfismos
- Grupo de holonomía
Referencias
- ^ Dummit y Foote 2004 , § 2.3. Ejercicio 26.
- ^ Hartshorne 1977 , cap. II, ejemplo 7.1.1.
- ^ Hochschild, G. (1952). "El grupo de automorfismo de un grupo de mentiras". Transacciones de la American Mathematical Society . 72 (2): 209–216. JSTOR 1990752 .
- ^ (siguiendo a Fulton y Harris 1991 , ejercicio 8.28.) Primero, si G está simplemente conectado, el grupo de automorfismo de G es el de. En segundo lugar, cada grupo de Lie conectado tiene la forma dónde es un grupo de Lie simplemente conectado y C es un subgrupo central y el grupo de automorfismo de G es el grupo de automorfismo deque conserva C . En tercer lugar, por convención, un grupo de Lie es el segundo contable y tiene, como mucho, muchos componentes conectados; así, el caso general se reduce al caso conectado.
- ^ Milnor 1971 , Lema 3.2.
- ^ Waterhouse 2012 , sección 7.6.
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Milnor, John Willard (1971). Introducción a la teoría K algebraica . Anales de estudios matemáticos. 72 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 9780691081014. Señor 0349811 . Zbl 0237.18005 .
- Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Introducción a los esquemas de grupos afines . Textos de Posgrado en Matemáticas. 66 . Springer Verlag. ISBN 9781461262176.
enlaces externos
- https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme