En matemáticas , el teorema de Bony-Brezis , debido a los matemáticos franceses Jean-Michel Bony y Haïm Brezis , da las condiciones necesarias y suficientes para que un subconjunto cerrado de una variedad sea invariante bajo el flujo definido por un campo vectorial , es decir, en cada punto del conjunto cerrado el campo vectorial debe tener producto interno no positivo con cualquier vector normal exterior al conjunto. Un vector es una normal exterioren un punto del conjunto cerrado si hay una función continuamente diferenciable de valor real maximizada localmente en el punto con ese vector como su derivada en el punto. Si el subconjunto cerrado es una subvariedad uniforme con límite, la condición establece que el campo vectorial no debe apuntar fuera del subconjunto en los puntos límite. La generalización a subconjuntos no suaves es importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales .
De hecho, el teorema había sido descubierto previamente por Mitio Nagumo en 1942 y también se conoce como el teorema de Nagumo . [1]
Sea F un subconjunto cerrado de una variedad C 2 M y sea X un campo vectorial sobre M que es continuo de Lipschitz . Las siguientes condiciones son equivalentes:
Siguiendo a Hörmander (1983) , para demostrar que la primera condición implica la segunda, sea c ( t ) una curva integral con c (0) = x en F y dc/dt = X ( c ). Sea g un máximo local en F en x . Entonces g ( c ( t )) ≤ g ( c (0)) para t pequeño y positivo. Derivando, esto implica que g '( x )⋅ X ( x) ≤ 0.
Para probar la implicación inversa, dado que el resultado es local, basta comprobarlo en R n . En ese caso X satisface localmente una condición de Lipschitz
Dado que −| y − c ( t )| 2 tiene un máximo local en F en y = z , c ( t ) − z es un vector normal exterior en z . Entonces, el primer término del lado derecho no es negativo. La condición de Lipschitz para X implica que el segundo término está acotado por arriba por 2 C ⋅ D ( c ( t )). Así, la derivada del derecho de