En matemáticas , un flujo formaliza la idea del movimiento de partículas en un fluido. Los flujos son omnipresentes en la ciencia, incluidas la ingeniería y la física . La noción de flujo es básica para el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias . De manera informal, un flujo puede verse como un movimiento continuo de puntos a lo largo del tiempo. Más formalmente, un flujo es una acción grupal de los números reales en un conjunto .
La idea de un flujo vectorial , es decir, el flujo determinado por un campo vectorial , se da en las áreas de topología diferencial , geometría riemanniana y grupos de Lie . Los ejemplos específicos de flujos vectoriales incluyen el flujo geodésico , el flujo hamiltoniano , el flujo de Ricci , el flujo de curvatura media y los flujos de Anosov . Los flujos también pueden definirse para sistemas de variables aleatorias y procesos estocásticos , y ocurren en el estudio de sistemas dinámicos ergódicos . El más célebre de ellos es quizás el flujo de Bernoulli .
Definicion formal
Un flujo en un conjunto X es una acción de grupo del grupo aditivo de los números reales en X . Más explícitamente, un flujo es un mapeo
tal que, para todo x ∈ X y todos los números reales s y t ,
Se acostumbra escribir φ t ( x ) en lugar de φ ( x , t ) , de modo que las ecuaciones anteriores se puedan expresar como φ 0 = Id (la función de identidad ) y φ s ∘ φ t = φ s + t (grupo ley). Entonces, para todo t ∈ R , el mapeo φ t : X → X es una biyección con inversa φ - t : X → X . Esto se sigue de la definición anterior, y el parámetro real t puede tomarse como una potencia funcional generalizada , como en la iteración de funciones .
Flujos suelen ser necesarios para ser compatible con las estructuras proporcionados en el set X . En particular, si X está equipado con una topología , generalmente se requiere que φ sea continuo . Si X está equipado con una estructura diferenciable , generalmente se requiere que φ sea diferenciable . En estos casos, el flujo forma un subgrupo de un parámetro de homeomorfismos y difeomorfismos, respectivamente.
En ciertas situaciones, también se pueden considerar los flujos locales , que se definen solo en algún subconjunto
llamado dominio de flujo de φ . Este suele ser el caso de los flujos de campos vectoriales .
Notaciones alternativas
Es muy común en muchos campos, incluida la ingeniería , la física y el estudio de ecuaciones diferenciales , utilizar una notación que haga implícito el flujo. Por tanto, x ( t ) se escribe para φ t ( x 0 ) , y se podría decir que la "variable x depende del tiempo t y la condición inicial x = x 0 ". A continuación se dan algunos ejemplos.
En el caso de un flujo de un campo vectorial V en un colector uniforme X , el flujo a menudo se denota de tal manera que su generador se hace explícito. Por ejemplo,
Órbitas
Dado x en X , el conjuntose llama la órbita de x bajo φ . De manera informal, se puede considerar como la trayectoria de una partícula que se colocó inicialmente en x . Si el flujo es generado por un campo vectorial , entonces sus órbitas son las imágenes de sus curvas integrales .
Ejemplos de
Ecuación algebraica
Sea f : R → X una trayectoria dependiente del tiempo que es una función biyectiva, es decir, una función no periódica. Entonces un flujo se puede definir por
Sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias
Sea F : R n → R n un campo vectorial (independiente del tiempo) yx : R → R n la solución del problema de valor inicial
Entonces φ ( x 0 , t ) = x ( t ) es el flujo del campo vectorial F . Es un flujo local bien definido siempre que el campo vectorial F : R n → R n sea Lipschitz-continuo . Entonces φ : R n × R → R n también es continuo de Lipschitz dondequiera que se defina. En general, puede ser difícil demostrar que el flujo φ está definido globalmente, pero un criterio simple es que el campo vectorial F esté soportado de forma compacta .
Ecuaciones diferenciales ordinarias dependientes del tiempo
En el caso de los campos vectoriales dependientes del tiempo F : R n × R → R n , uno denota φ t , t 0 ( x 0 ) = x ( t + t 0 ) , donde x : R → R n es la solución de
Entonces φ t , t 0 ( x 0 ) es el flujo de F dependiente del tiempo . No es un "flujo" según la definición anterior, pero puede verse fácilmente como tal si reorganiza sus argumentos. A saber, el mapeo
de hecho satisface la ley de grupo para la última variable:
Se pueden ver los flujos de campos vectoriales dependientes del tiempo como casos especiales de los independientes del tiempo mediante el siguiente truco. Definir
Entonces y ( t ) es la solución del problema de valor inicial "independiente del tiempo"
si y solo si x ( t ) es la solución del problema del valor inicial dependiente del tiempo original. Además, entonces el mapeo φ es exactamente el flujo del campo vectorial G "independiente del tiempo" .
Flujos de campos vectoriales en variedades
Los flujos de campos vectoriales independientes y dependientes del tiempo se definen en variedades suaves exactamente como se definen en el espacio euclidiano R n y su comportamiento local es el mismo. Sin embargo, la estructura topológica global de una variedad suave se manifiesta fuertemente en qué tipo de campos vectoriales globales puede soportar, y los flujos de campos vectoriales en variedades suaves son de hecho una herramienta importante en la topología diferencial. La mayor parte de los estudios en sistemas dinámicos se realizan en colectores suaves, que se consideran "espacios de parámetros" en las aplicaciones.
Soluciones de la ecuación de calor
Sea Ω un subdominio (acotado o no) de R n (con n un número entero). Denote por Γ su límite (se asume suave). Considere la siguiente ecuación de calor en Ω × (0, T ), para T > 0 ,
con la siguiente condición de contorno inicial u (0) = u 0 en Ω .
La ecuación u = 0 en Γ × (0, T ) corresponde a la condición de frontera de Dirichlet homogéneo. El escenario matemático para este problema puede ser el enfoque de semigrupo. Para utilizar esta herramienta, introducimos el operador ilimitado Δ D definido en por su dominio
(ver los espacios clásicos de Sobolev con y
es el cierre de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en Ω para elnorma).
Para cualquier , tenemos
Con este operador, la ecuación de calor se convierte en y u (0) = u 0 . Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es (ver notaciones arriba)
donde exp ( t Δ D ) es el (analítica) semigrupo generado por Δ D .
Soluciones de la ecuación de onda
Nuevamente, sea Ω un subdominio (acotado o no) de R n (con n un número entero). Denotamos por Γ su límite (asumido suave). Considere la siguiente ecuación de onda en(para T > 0 ),
con la siguiente condición inicial u (0) = u 1,0 in y .
Utilizando el mismo enfoque de semigrupo que en el caso de la Ecuación de calor anterior. Escribimos la ecuación de onda como una ecuación diferencial parcial de primer orden en el tiempo introduciendo el siguiente operador ilimitado,
con dominio en (el operador se define en el ejemplo anterior).
Introducimos los vectores de columna
(dónde y ) y
- .
Con estas nociones, la ecuación de onda se convierte en y .
Por tanto, el caudal correspondiente a esta ecuación es dónde es el semigrupo (unitario) generado por .
Flujo de Bernoulli
Los sistemas dinámicos ergódicos , es decir, los sistemas que exhiben aleatoriedad, también exhiben flujos. El más célebre de ellos es quizás el flujo de Bernoulli . El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que, para cualquier entropía H dada , existe un flujo φ ( x , t ) , llamado flujo de Bernoulli, tal que el flujo en el tiempo t = 1 , es decir , φ ( x , 1) , es un flujo de Bernoulli. turno .
Además, este flujo es único, hasta un constante cambio de escala de tiempo. Es decir, si ψ ( x , t ) , es otro flujo con la misma entropía, entonces ψ ( x , t ) = φ ( x , t ) , para alguna constante c . La noción de unicidad e isomorfismo aquí es la de isomorfismo de sistemas dinámicos . Muchos sistemas dinámicos, incluidos el billar de Sinai y los flujos de Anosov, son isomórficos a los cambios de Bernoulli.
Ver también
- Ecuación de Abel
- Función iterada
- Ecuación de Schröder
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
Referencias
- DV Anosov (2001) [1994], "Flujo continuo" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- DV Anosov (2001) [1994], "Flujo medible" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- DV Anosov (2001) [1994], "Flujo especial" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
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